数学奇谈：由一道实变函数习题串起三个微分中值定理

先看一道题目，来自周民强《实变函数》习题：

若函数f在开区间（a，b）上可微，且仅在最多可数个点上导数不等于0，那么f是（a，b）上的常值函数。

证明：假设有x1∈（a，b），且f在x1处的导数不为零，不妨设为小于0；根据题设，我们还可以再取x2∈（a，b），使得f在x2处的导数为零。不妨设x1<>

那么根据达布介值定理，有如下性质

即，f的导数值可以取遍介于f'(x1)和f'(x2)之间的所有数，所以f的导数值不为零的点的数量与实轴等势，这与“最多可数个点上导数不等于0”相矛盾。

你还会证明达布介值定理吗？

达布介值定理：设y=f(x)在(A,B)区间中可导，且[a,b]包含于(A,B)，f'(a)<><><>

证明：记函数F(x)= f(x)- ηx，则F'(a)= f'(a)- η<>

• 若F(a)= F(b)，那么至少存在一点x∈（a，b），使得F在x处导数为零，即有f'(x)=η；

• 若F(a)<><><><>连续函数介值定理，存在x2∈（x1，b），使得F(x2)= F(a)。于是，根据罗尔中值定理（也可以用拉格朗日中值定理，没有区别），存在x3∈（a，x2），使得F'(x3)=0。即有f'(x3)= η。

• 若F(a)>F(b)，与上面相仿，可以利用F在b点的导数大于零。简述如下

换另一边就好了，就像睡觉翻个身嘛

你会证明罗尔中值定理吗？

罗尔中值定理：若函数f在[a，b]上连续，在（a，b）上可微，且f(a)=f(b)，那么存在x∈（a，b），使得f在x处导数为0。

证明：根据连续函数最值定理，f在[a，b]上有最大值和最小值。由于f(a)=f(b)相同，所以

• 要么f在[a，b]上是常值，此时f的导数处处为零；

• 要么f的最大值和最小值，至少有一个与f(a)不相等。

不妨设其最大值大于f(a)，在x0处取得。显然，a<><>

你会证明连续函数最值定理（介值定理）吗？