一、不等关系与不等式
1.比较大小的常用方法
(1)作差法的一般步骤是:作差,变形,定号,得出结论.
注意:只需要判断差的符号,至于差的值究竟是什么无关紧要,通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式的积的形式.
(2)作商法的一般步骤是:作商,变形,判断商与1的大小,得出结论.
注意:作商时各式的符号为正,若都为负,则结果相反.
(3)介值比较法:
①介值比较法的理论根据是:若a>b,b>c,则a>c,其中b是a与c的中介值.
②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩,找出一个比较合适的中介值.
2.不等式的性质及应用
(1)应用不等式性质解题的指导思想:理解不等式的性质时,首先要把握不等式性质成立的条件,特别是实数的正负和不等式的可逆性;其次,要关注常见函数的单调性对于理解不等式性质的指导性.
(2)解决此类问题常用的两种方法:一是直接使用不等式的性质逐个验证;二是利用特殊值法排除错误答案.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.
3.求代数式的取值范围的一般思路
(1)借助性质,转化为同向不等式相加进行解答;
(2)借助所给条件整体使用,切不可随意拆分所给条件;
(3)结合不等式的传递性进行求解;
(4)要注意不等式同向可乘性的适用条件及整体思想的运用.
二、一元二次不等式及其解法
1.解一元二次不等式的一般步骤
(1)一化:把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.
(2)二判:计算对应方程的判别式.
(3)三求:求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根.
(4)四写:利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集.
2.解含有参数的一元二次不等式的步骤
(1)二次项系数若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.
(2)判断方程的根的个数,讨论判别式Δ与0的关系.
(3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.
3.解不等式恒成立问题的技巧
(1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.即
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