13.5 曲面面积和曲面积分

计算曲面积分的技巧是要将其转换成平面区域的二重积分.

观察下图曲面 S 以及它的垂直投影.

将所有小平面分割近似所有的小区面, 这样就构成了曲面 S , 因此其和式就是曲面 S 面积的一个近似, 而不断的细分 R 后, 即为下面二重积分的近似.

观察下面小切面近似曲面的动画:

即第一类曲面积分, 利用上面计算曲面面积的思想:

称光滑曲面 S 可定向或是双侧的.

下图的莫比乌斯带不是可定向的. 当一个单位法向量移动一圈后, n 的方向刚好与出发方向相反.

也就是第二类曲面积分. 假设曲面 S 在 F 向量场中, n 为曲面某点处的单位法向量, 则 F 沿正向穿过曲面的通量为 $F \cdot n$ 在 S 上的积分.

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