建模解题化难为易

这是第23届“华杯赛”初赛高年级组第6题：

小王将一些同样大小的正三角形纸片摆放在桌上，第一次放一张纸片；第二次在这个小正三角形纸片四周再放3张纸片；第三次在第二次摆好的图形四周再摆放纸片；……摆放要求是：每次摆放的每张纸片必须和上一次摆放的纸片至少有1条边重合，且纸片之间除边之外，无重合（见下图）。第20次摆放后，该图形共用了正三角形纸片（ ）张。

本题的解题思路是先由易到难，观察每次三角形较上一次增加的个数，从中发现规律，建立数学模型，最后运用模型解题。

根据题意，我们把前4次摆放的情况用下图重现一下：

由此可以推论：第n次摆放后所需要的正三角形的个数为：

1+3×1+3×2+3×3+……+3×（n-1）

化简上式：

1+3×1+3×2+3×3+……+3×（n-1）

=1+3×[1+2+3+……+（n-1）]

=1+3×[1+（n-1）] ×（n-1）÷2

=1+3（n-1）n÷2

当n=20时，

1+3（n-1）n÷2

=1+3×（20-1）×20÷2

=1+3×19×10

=571

所以，本题的正确选项应该是A。