【高考数学】解题能力提升, 每日一题: 第365题

已知函数f（x）=ex/x．

（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点P（2，e2/2）处的切线方程；

（Ⅱ）证明：f（x）＞2（x﹣lnx）．

考点分析：

导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．

题干分析：

（Ⅰ）通过导函数求解切线的斜率，得到切点坐标，然后求解切线方程．

（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）-2（x-lnx）=ex/x-2x+2lnx，

g’（x）=（ex-2x）（x-1）/x2，x∈（0，+∞），

设h（x）=ex﹣2x，x∈（0，+∞），求出导函数，通过导函数的符号，求解g（x）min=g（1）=e﹣2＞0，从而证明结果．

解题反思：

导数的应用已成为高考的一个热点，它是高中数学学习的重点内容，它的引入对函数的单调性、极值、最大(小)值的研究开辟了一条捷径,也为数学的学习增添了色彩，它能使比较复杂的问题简单化,使数学问题与实际应用更加紧密。