用基本不等式求最值的七字诀——一正二定三相等。
“正”字不必多说,就是a,b大于0,这是推导基本不等式的前提条件。
再来看“定”:a*b为定值,则a+b有最小值;a+b为定值,则a*b有最大值.即“积定和最小,和定积最大”。
为什么一定要“定值”呢?
看这个例题:
这样解虽然使用了基本不等式,但是右边的式子并不是定值,结果正确吗?
显然,当x=2时,(9-2x)x的值等于10>9,所以上面的解法错误。
错误是如何发生的呢?
我们分别画出两个函数f(x)=(9-2x)x,g(x)=[(9-x)/2]^2的图象。
从上图我们能看出:随着x的变化,(9-2x)x、[(9-x)/2]^2也都在变化,而且(9-2x)x始终小于等于[(9-x)/2]^2.
而且,当9-2x=x即x=3时,(9-2x)x等于[(9-x)/2]^2.
这些都没有错。
但是问题来了:取等号时的位置并不是取最值的位置。
怎样能保证取等号时就是最值呢?
答案是:必须定值!
看正确解法:
再看图象,我们画出函数两个函数f(x)=(9-2x)x,g(x)=81/8的图象:
看出定值的好处来了吗?
因为是定值,它的图象是一条平行于x轴的直线,这样就保证了——f(x)的图象都在直线的下方,取等号的位置就是最值的问题。
最后就到了“等”的要求了。
可以多步到达“定”,只要多个等号能同时取得。
从上面的分析我们能看出,用基本不等式求最值不仅要求“一正二定三相等”,而且顺序都不能变——先要求'正',再要求'定',最后研究取等的条件是否满足。
另外,也可以多步使用不等式,最后一步为定值即可。
当然,中间的每个不等式取等的条件都必须满足。
画出图来,是这样的感觉:
只要中间的两个等号能够同时取得,f(x)也能取得最小值。
如果中间的几个等号不能同时取得呢?----那就说明,这个解法行不通,要换别的思路。
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