中考数学中的存在型问题解题策略
中考中的存在型问题大致有以下类型:
一、存在特殊图形:
(1)存在等腰三角形;
(2)存在平行四边形;
(3)存在直角三角形;
(4)存在直角梯形;
(5)存在正方形;
(6)存在菱形。
二、存在最大(小)值问题:
(1)存在线段的最大(小)值;
(2)存在面积最大(小)值;
(3)存在周长最大(小)值。
三、存在全等三角形
四、存在相似三角形
此类问题往往考察学生对分类讨论思想、数形结合思想、方程思想等数学思想的把握;同时,考察学生的运算、推理等能力。
本文就存在特殊图形中 的第一类——存在等腰三角形问题,谈谈如何突破此类问题与大家分享。
此类问题都有一个共性:三角形的顶点中 有两个定点,第三个顶点是某条确定轨迹(比如在坐标轴上、在抛物线上、在某条直线上)上的动点。如果直接在图形中去寻找问题的可能性,可能会漏解,或感觉问题特复杂。不好入手。其实不用考虑那么复杂,解答此类问题有一个万能的方法:设出动点的坐标,把三边的长表示出来,然后分(1)a=b;(2)a=c;(3)b=c(这里的a、b、c表示三角形的三边)三种情况列方程。若方程有解就存在,无解就不存在。有几个解就有几种可能。
解
解
题
请看以下安顺中考题:
1.2017安顺中考第26题的第(2)题
分析:此题只要求写出符合条件的点的坐标,不写解答过程。我们可以在图上找出符合条件的点的位置,然后,利用对称性写出点的坐标。但是,容易漏解,因为情形较多,不好想象。所以,我们采用上述的“万能法”,设坐标,列方程,解方程可保万无一失。而且,此问题所列方程易于解出。
解:如图,因为M在抛物线的对称轴上,所以设M(2,m)。∵C(0,3),P(2,-1),则
(注意表示的是三角形三边的平方)
分三种情况:
分别解以上三个方程即可求得点M的坐标。方程的求解请读者自己完成。
答案:
“万能法”其实也并非万能。有些问题如果你使用此法,可能会陷入困境。因为列出的方程不好解,或解不了。此时我们应该考虑图形的直观性。或利用对称性直接给出解答.请看下面的例子
2.2013安顺中考地26题的第(2)题
分析:第(1)题中抛物线的解析式是y=-x^2+2x+3.∴D(1,4).因而△CDP中C、D是定点。设出P点的坐标,表示出三角形的三边,然后列方程。
解:如图,设P(x,y)(x>1)(此条件用于对方程的根的取舍)
则
分三种情况:
其中
然而,方程(1)和(3),把y代入将会出现四次方程,根本解不了。此时,对于情形(1),结合图形的直观性(如图1),由于点P位置的限定,CP不可能等于CD,所以,此情形不存在。而情形(3)我们可以对称性直接给出点P的坐标(如图2)。情形(2)中的方程可以解,(因为两边的y平方可以抵消)。也只能解方程求点P的坐标。(注意对方程的根进行取舍),解答留给读者完成。
答案是:
所以,此题应运用“万能法”与其它方法相结合。
总结
在二次函数背景下等腰三角形的存在问题。可用万能法,或者用万能与其它方法相结合。
(1)如果动点是在坐标轴、抛物线的对称轴、或其它直线上,则可直接应用万能法,因为此种情况下列出的方程容易求解。
(2)如果动点是在抛物线上或其它曲线上,那么,就要把万能法与其他方法相结合。
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