透析中点相遇的命题原理和解题技巧

中点相遇，是指在距离中点的某个地方相遇。借助中点，可以帮我们找到两人的路程差（即‘多走的路程’是相遇地点距离中点路程的2倍），再结合速度差，可以求出相遇时间和总路程。解题时，关键要把握两种情形：同时出发和不同时出发。下面我们以几个典型试题为例进行具体分析和拓展，以便同学们熟练掌握这种题型的命题特点和答题技巧。

【举一】（第二届“走进数学王国”决赛解答题第6题）

小花猫和小花狗是一对好朋友，它们分别从A、B两地同时出发，相向而行，小花猫每分钟行80米，小花狗每分钟行100米，它们在途中的C处相遇。问：A、B两地之间的距离是多少米？

考点透析：围绕中点找两人的路程差。由于小花猫先走9分钟，走了80×9=720米，结果小花猫先过中点。解题核心是找出猫和狗在‘相遇时间’内的路程差。相遇时，小花猫比小花狗多走280×2=560米，这560米是小花猫提前9分钟的结果，但为什么不是720米呢？即9分钟后，小花狗在‘相遇时间’内又追回了80×9－560=160米，进而可知‘相遇时间’是160÷（100－80）=8分钟。

解答：

280×2=560（米）

80×9-560=160（米）

160÷（100-80）=8（分）

80×9+（80+100）×8=2160（米）

答：略。

【反三】

1、甲、乙两人同时从两地相向跑步而行，甲每小时行12千米，乙每小时行10千米，两人刚好在距中点3千米处相遇，问两地相距多少千米？

考点透析： 同时出发，则相遇时间就是走完全程的时间。路程差是相遇点距离中点的2倍，2×3=6千米，再根据甲乙的速度差可以求出相遇时间。

解答：

3×2=6（千米）

6÷（12-10）=3（小时）

3×（12+10）=66（千米）

答：略。

2、甲、乙二人从A，B两地同时出发相向而行，甲每分钟行80米，乙每分钟行70米，出发一段时间后，二人在距中点60米处相遇。如果甲晚出发一会儿，那么二人在距中点220米处相遇。甲晚出发了多少分钟？

考点透析： 甲晚出发的时间=乙第二次需要的时间－甲第二次需要的时间。题目中有两个与中点相关的路程，根据第一次相遇地点与中点比较，可以求出总路程；根据第二次相遇地点与中点比较，可以求出第二次相遇后，甲、乙各自行走的路程和时间。

解答：

60×2÷（80-70）=12（分）

12×（80+70）=1800（米）

（1800÷2+220）÷70=16（分）

（1800÷2-220）÷80=8.5（分）

16-8.5=7.5（分）

答：略。

3、在一个边长为17米的正方形ABCD的A点，有红、蓝两个甲虫从9点开始，同时沿着边以相同的速度爬行。红甲虫由A－B－C－D，蓝甲虫由A－D－C，9：30红甲虫爬到AB间距A点10 米的E点后继续向前爬行，10：15爬到BC间的F点，再经过C向前爬去，蓝甲虫爬到AD间距D点5米的G点，休息一会再往前爬行。当两个甲虫在CD上H点相遇时，凑巧四边形EFHG的面积是正方形面积的一半，问蓝甲虫在G点休息了多长时间？

考点透析： 这个题目的核心是考察中点相遇。两虫速度相同，如同时出发，中途不休息，两虫会同时到达C点（即中点），但是如果有一方休息，那么另一方就会超过中点与其相遇，‘多走的路程’所需的时间即为休息时间。

解答：

设DH为x，则HC=17-x，因为四边形EFGH的面积是正方形面积的一半，所以图形中四个三角形的面积和为正方形面积的一半。则有：

10×12÷2+7×8÷2+5x÷2+9（17-x）÷2=17×17÷2

x=10

相遇地点距离中点的路程：17-10=7（米）

红甲虫比蓝甲虫多走了：7×2=14（米）

因为爬行10米要30分钟，所以爬行14米要30÷10×14=42（分），所以蓝甲虫休息了42分钟。

答：略。