全等三角形辅助线怎么添加？找到对称轴，你就发现了关键

延续上一次的全等三角形例题，今天的这道经典例题同样是运用辅助线的添加，找到轴对称的全等三角形，得到对应的边与角相等，再推得求证相关的线段的等价性质完成证明。本题运用基本图形分析法分析了三中辅助线的添加方法，来看看是否与你想的一样吧。

例9 如图5-22，已知：△ABC中，∠B=2∠C，AD是角平分线，求证：AC=AB+BD。

图5-22

分析：本题要证明AC=AB+BD，这是一条线段等于两条线段的和，所以可根据线段和差关系的定义来开始进行分析。

若根据线段和的定义，则可将BD接到AB上，也就是延长AB到E，使BE=BD（如图5-23），那么AE就等于AB+BD，问题就成为要证AE=AC。

图5-23

但在作出了BE=BD后，由于这是两条具有公共端点的相等线段，所以它们可组成一个等腰三角形，于是联结ED（如图5-23），又因为E、B、A成一直线，出现了∠ABD是这个等腰三角形的顶角的外角，所以可得∠ABD=2∠E，而已知∠ABD=2∠C，从而就有∠E=∠C。而条件中已给出∠EAD=∠CAD，且AD=AD，所以△AED和△ACD就是一对轴对称型的全等三角形，那么AE=AC也就可以证明。

本题在根据线段和的定义进行分析时，也可考虑将AB接到BD上，也就是延长DB到E，使EB=BA（如图5-24），这样就有ED=AB+BD，问题也就成为要证AC=ED。

图5-24

由于在作了EB=BA以后，它们也是两条具有公共端点的相等线段，所以也可以组成一个等腰三角形，于是联结AE（如图5-24），又因为E、B、C成一直线，应用等腰三角形的基本图形的性质就有∠ABC=2∠E，而已知∠ABC=2∠C，所以∠E=∠C。而这两个角相等一出现，就得到△AEC也是等腰三角形，也就是AE=AC，那么问题就成为要证ED=EA。这又是两条具有公共端点的相等线段，它们又可以组成一个等腰三角形，问题也就成为一个等腰三角形的判定问题，这样就应证ED=EA的等价性质∠EAD=∠EDA。而由E、D、C成一直线，可知∠EDA是△ADC的一个外角，所以有∠EDA=∠C+∠CAD，而∠DAE又等于∠EAB+∠BAD，且已知∠CAD=∠BAD，所以问题就成要证∠BAE=∠C。但因这两个角都和∠E相等，所以分析即可完成。

本题的分析也可以根据线段差的定义来开始进行，于是在AC上截取AE=AB（如图5-25），那么问题就是要证EC=BD。而在作出了AE=AB后，由AD是角平分线，就出现了AE和AB这两条相等的线段是关于AD成轴对称的，从而可添加轴对称型全等三角形进行证明，于是联结DE（如图5-25）后，由AE=AB，∠EAD=∠BAD和AD=AD，即可推得△EAD≌△BAD，ED=BD，那么问题也就成为要证ED=EC。但这是两条具有公共端点的相等线段，所以它们可组成一个等腰三角形，问题就成为一个等腰三角形的判定问题，而由C、E、A成一直线，所以问题就应证∠AED=2∠C，而由∠AED=∠B和已知∠B=2∠C，就可以证明上述性质。

图5-25