【2018河北中考数学8题】辅助线作法不正确的是哪一个？
【中考真题】
（2018·河北·8题·3分）已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（ ）
A．作∠APB的平分线PC交AB于点C
B．过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC
C．取AB中点C，连接PC
D．过点P作PC⊥AB，垂足为C
【思路探究】
需要从各选项所添加的辅助线进行推理，根据线段垂直平分线的概念进行判断，如果不能推导出PC⊥AB且C是AB的中点，则这种辅助线的作法就不正确，从而得出答案．在推理过程中，往往需要根据辅助线的条件，运用三角形全等的判定和性质来证明垂直和线段相等．
【解答过程】
解：由已知点P在线段AB外，且PA=PB，得：
由选项A的作法可知，PC是∠APB的平分线，
∴∠APC=∠BPC，且PA=PB，PC=PC是公共边，
∴由SAS可判断出△PCA≌△PCB，
∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，选项A符合题意；
由选项C的作法可知，点C是线段AB的中点，
∴AC=BC，且PA=PB，PC=PC是公共边，
∴由SSS可判断出△PCA≌△PCB，
∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，选项C符合题意；
由选项D的作法可知PC⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°，
且PA=PB，PC=PC是公共边，
∴由HL可判断出Rt△PCA≌Rt△PCB，
∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，选项D符合题意；
由选项B的作法：过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC，
可知，经过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也同时平分这条线段，
∴B的作法不能证明出点P在线段AB的垂直平分线上，
∴辅助线作法不正确的是B，故本题选B．
【考法解读】
本题借助作辅助线为背景，考查了线段垂直分线的判定，还考查了三种全等三角形的判定方法和性质，也涉及到了等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键．
对于有关命题与证明的考查，是河北中考数学考查的重点，在选择题中经常出现，需要同学们准确掌握命题与证明的一般方法和思路，能够将命题的文字语言、符号语言和图形语言进行相互转化和规范表达，形成良好的逻辑思维，提高推理能力．
本题的命题立意直接来源于教材中证明线段垂直平分线性质定理的逆定理的学习过程（如下图所示）．同时将辅助线作法融入其中，逆向思考不成立的选项．因此学习和复习中一定要以教材为基础和根本，吃透和掌握有关定理的形成过程和数学依据，才能有效应对相关的考查．
【知识方法】
我们知道，经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也可以简称“中垂线”．线段垂直平分线的判定定理和性质定理更是需要掌握的，它们两个互为逆定理．
全等三角形常常是用来证明线段相等和角相等的工具，可以解决有关三角形中线段和角度的证明问题．我们学过的三角形的判定方法有四种：SAA、ASA、AAS，以及在直角三角形中的HL．
在判定三角形全等时，关键是根据已知条件，选择恰当的判定条件，应注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也往往会跟等腰三角形的性质相结合，共同解决有关三角形中线段和角度的证明问题．
【变式训练】
〖习题1〗如图，锐角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，甲、乙两人想找一点P，使得∠BPC与∠A互补，其作法分别如下：
（甲）以A为圆心，AC长为半径画弧交AB于P点，则P即为所求；
（乙）作过B点且与AB垂直的直线l，作过C点且与AC垂直的直线，交l于P点，则P即为所求．
则对于甲、乙两人的作法，下列说法正确的是（ ）
A．两人皆正确
B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误
D．甲错误，乙正确
解：甲：如图1，∵AC=AP，
∴∠APC=∠ACP，
∵∠BPC+∠APC=180°
∴∠BPC+∠ACP=180°，
∴甲错误；
乙：如图2，∵AB⊥PB，AC⊥PC，
∴∠ABP=∠ACP=90°，
∴∠BPC+∠A=180°，
∴乙正确，
故本题选D．
〖习题2〗作等腰△ABC底边BC上的高线AD，按以下作图方法正确的个数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
解：根据等腰三角形的三线合一的性质可知：图1，图3中的作法正确；
根据对称性可知，图3中，线段BF和线段CE的交点在等腰三角形△ABC的对称轴上，所以线段AD是△ABC的高，
如图4中，根据对称性可知：线段FM和线段EN的交点在在等腰三角形△ABC的对称轴上，所以线段AD是△ABC的高，
综上所述，四种作图方法都是正确的，本题故选D．
联系客服
