用代数法求解线段的最值问题

求解有关线段的最值问题，除了我们已经介绍过的利用轴对称、构造辅助圆或三角形等方法来解决之外，今天再介绍一种代数法，基本策略是把最值问题转化为函数或者方程模型来解决，这也是解决最值问题常见的一种思路.

下面以近年的几道中考题为例详细说明：

1、如下图，线段AB=10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP，BP为边作正方形APCD和PBFE，点M，N分别是CD，EF的中点，则MN的最小值是_____________．

解析：过点N作NG⊥DC交DC的延长线于点G，如下图所示，设MN=y，PC=x，根据题意得MG=5，PE=10-x，则NG=PE-PC=10-2x.在Rt△MNG中，由勾股定理可得：MN ^2=MG ^2+NG ^2，即y ^2=5 ^2+（10-2x）^2，∵0≤x≤10，∴当10-2x=0，即x=5时，y ^2有最小值25，∴y的最小值为5，即MN的最小值为5.

2、如下图，已知AB=2，C是线段AB上任一点，分别以AC，BC为斜边，在AB的同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，则DE长度的最小值为_____________．

解析：设AC=x，则BC=2-x，然后利用等腰三角形的性质分别表示出DC、EC，继而在Rt△DCE中，DE^2=DC^2+CE^2=（√2x/2）^2+（√2-√2x/2）^2，去括号整理得DE^2=（x-1）^2+1，当x=1时，DE^2取得最小值为1，因此DE的最小值就是1.

点评：利用勾股定理求出DE长度的表达式，再用方程（函数）知识进行解答即.

3、如下图，已知AB=10，C是线段AB上任一点，分别以AC，BC为边，在AB的同侧作等边三角形ACP和等边三角形BCQ，则PQ长度的最小值为_____________．

解析：如下图，过点P，作PE⊥AB垂足为点E，作QF⊥AB，QG⊥PE,垂足分别为F、G，在Rt△PGQ中，

依题意可知QG=5，类似上两题方法，当PG=0时，最小值PQ=5.

总结：代数法求解线段的最值问题，基本策略就是构造出相关的直角三角形，利用勾股定理等知识，列出有关线段的函数（方程）的关系式，然后利用函数（方程）的性质特点求出最值.