配方法及其在初中数学解题中的应用

前言

数学思想方法是初中数学基础知识的一部分，初中数学常用的数学思想方法有换元法，配方法，待定系数法，数形结合方法等等，在数学解题中善于利用数学思想方法是解题成功的一个重要策略，本文谈谈配方法及其在初中数学解题中的应用。以提高同学们解决数学问题的能力。

基本认识

所谓配方法，就是利用公式a²+2ab+b²=(a+b)²和a²-2ab+b²=(a-b)²,通过恒等变形把一个代数式中的某些项配成一个完全平方的形式。通过配方解决数学问题的方法称为配方法。配方法是初中数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在代数式的化简求值、因式分解、解方程、求二次函数的极值和顶点坐标等方面都有广泛的应用。

基本应用

一．利用配方法求代数式的值

例题1已知a、b为实数,且a²+9b²－2a+18b+10=0，

求4a²－b的值.

分析：由于a,b的值未知，因此我们先设法求出a,b的值，又由于只有一个等式，因此考虑可否把左边化为两个完全平方式的和，再利用非负数的性质求解。

由于左边含有（a²－2a），因此可以添一个数1，则a²－2a =（a²－2a+1）-1=（a-1）²-1,同理9b²－18b=（9b²－18b+9）-9=（3b-3）²-9,而-1-9=-10恰好与等式里的10抵消，于是原式可以化为两个完全平方式的和。

解答.原式可化为：（a-1）²+（3b-3）²=0，于是：（a-1）²=0（3b-3）²=0，

所以a=1,b=1,∴4a²－b=3.

点评:利用配方法求值常常还要利用非负数的性质。

例题2：化简：

分析：化简就是将根式

化为最简二次根式，这类根式一般是利用公式

进行化简。因此我们设法用配方法把根号内的式子配成完全平方式，由于a²-2ab+b²=(a-b)²,因此设想11-

= a²-2ab+b²，所以设法将11拆分为a²+b²，则-

=-2ab，而

=2×2

，因此猜想a=2,b=

,再验证：a²+b²=2²+（

）²=4+7=11,于是问题可解决。

解：

=

点评：（1）.利用公式a²-2ab+b²=(a-b)²进行配方的关键是先要确定a与b的式子各是什么？然后再将原式化为公式左边的形式，从而得出公式右边的形式；

（2）最后一步要注意2＜

，因此

例题3:已知：△ABC的三边分别为a、b、c，且a²+b²+c²=ab+bc+ac，求证：△ABC为等边三角形。

分析：观察等式两边我们发现具有完全平方式的类似结构，于是可以尝试用配方法进行变形，由a²+b²+c²=ab+bc+ac，得：a²+b²+c²-ab-bc-ac=0，可以考虑进一步再变形。

因为a²-2ab+b²=(a-b)²①， b²-2bc+c²=(b-c)² ②，a²-2ac+c²=(a-c)² ③，

①+②+③得：

2（a²+b²+c²-ab-bc-ac）=(a-b)²+(b-c)²+(a-c)² 而a²+b²+c²-ab-bc-ac=0，，所以：

(a-b)²+(b-c)²+(a-c)² =0，于是问题可解。

解答.原式可化为：(a-b)²+(b-c)²+(a-c)² =0，所以(a-b)²=0，(b-c)²=0，(a-c)² =0。

所以a=b=c.所以△ABC是等边三角形。

点评：含有关于a，b，c的二次对称轮换式一般考虑用配方法进行变形。

二．利用配方法进行因式分解

例题4. 分解因式：(a+b)²−4(a²−b²)+4(a−b)²

分析：这个式子可以看成一个三项式，一般考虑用配方法进行因式分解。

因此设法把原式化为M²+2MN+N²的形式，注意4(a²−b²)= 4(a+b) (a−b) =2×(a+b) ×[2(a−b)], 而4(a−b)²=[2(a-b)]²因此M=a-b，N=2（a-b）.于是：原式= M²+2MN+N²= (M-N)²。

解答.原式=(a+b)²−4(a+b) (a-b)+4(a−b)²=(a+b)²−2(a+b)[2 (a-b)]+[2(a−b)]²

=[(a+b)- 2(a−b)]² =(a+b- 2a+2b)²=(-a+3b)²=(a-3b)²

点评：三项式的分解因式一般利用完全平方公式进行配方即可分解因式。

三．利用配方法解方程

例题5：用配方法解方程： 3x²－12x ＋9 =0

分析：利用配方法可以将一元二次方程化为（x+a）²=b的形式，从而可以再运用直接开平方法求解。此例中的方程的二次项系数不是1，我们可以先将原方程化为：x² －4x ＋3 =0，由于x² －4x+2²=（x-2）²,因此我们可以在方程的两边同时加上2²，得：x² －4x +2²＋3 =0+2²，所以（x-2）²=1，再利用直接开平方法即可求解。

解：方程的两边都除以3，得： x² －4x ＋3 =0，即：x² －4x =-3，

两边都加上4，得：x² －4x +4=4-3，所以（x-2）²=1, x-2=±1,x₁=3,x₂=1

点评：1.利用配方法解方程的关键是在方程的两边都配上一次项系数一半的平方。即根据公式：x²+px+(

)²=(x-

)²进行变形。

2.利用配方法解方程的步驟是：

(1)将

项的系数化成1，常数项移到等号的右边；

(2)将方程的左右两边同時加上

项系数一半的平方；

(3)将方程左边配成完全平方式，即将方程化为（x+a）²=b(b≥0)的形式；

(4)方程两边同时开平方，求出

值：x=-a±

.

例题6.已知x²+y²-6x+4y+13=0,则x=__ y=__.

分析：此为一个二元二次方程，似乎无法求出x,y的值，但是我们可以设法将原式化为两个非负数的和的形式，然后再利用非负数的性质求解，由于x²-6x+9=(x-3)², y²+4x+4=(x+2)²,而9+4=13.因此我们可以把原方程左边的13拆为9+4，再利用加法交换率从新组合，则方程左边可化为两个完全平方式的和的形式，即用配方法可以把原方程化为：（x-3）²+(y+2)²=0, 于是可以求x,y.

解答.原式可以化为：（x-3）²+(y+2)²=0, 所以x-3=0,y+2=0即：x=3 y=-2.

点评：形如ax²+by²-cx+dy+e=0的方程一般先利用配方法将左边进行变形，再求解。

四．利用配方法研究不等式

例7： 关于x的方程x²－(2a－1)x+(a－3)=0求证：无论a为任何实数该方程总有两个不相等的实数根.

分析：要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于零即可，所以遇到这类问题我们一般先计算根的判别式，并设法将判别式化为一个非负数和一个正数的和的形式即可。

解答. ∵根的判别式⊿=[－(2a－1)]²-4(a－3)=4a²-4a+1-4a+12

=4(a²-2a)+13=4(a-1)²+9＞0

∴无论a为任何实数该方程总有两个不相等的实数根。

点评：与一元二次方程有关的问题常常考虑根的判别式和韦达定理，此例可以考虑巧用配方法证明根的判别式大于零即可。

五．利用配方法求二次函数的顶点坐标及对称轴

例题8：（1）已知二次函数y=(m-2)x²+(m+3)x+m+2的图象过点A（1，5）

①求m的值，并写出二次函数的解析式。

②求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴和最值。

分析：① 遇到求函数解析式的参数问题，一般要用待定系数法求解。此题中我们把点A的坐标代入函数解析式即可求出m的值； ②遇到求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴和最值的问题，要先将函数解析式进行配方，化为y=a(x+k)²+h的形式，即可求出二次函数图象的顶点坐标（-k,h）、对称轴:x=-k,最值=h(当a＞0时，h为最小值；当a＜0时，h为最大值。)。

解答. ①把点A（1，5）的坐标代入函数解析式，得：

m-2+m+3+m+2=5,所以m=2/3, 所以二次函数的解析式为：y=

x²+

x+

；

②将二次函数y=

x²+

x+

,配方得：y=

（x-

）²+11

∴二次函数的顶点坐标为（

），对称轴x=

,又因为a=

＜0，所以当x=

,时，函数取得最小值：y=11

点评：利用配方法求二次函数图象的顶点坐标、对称轴和最值是二次函数中的一个重要知识点，同学们务必熟练掌握！

感悟配方法

配方法是初中数学的一种重要的数学思想方法，在初中数学解题中有广泛的应用，对一些代数式进行配方，我们常常可以化为几个非负数的和的形式，从而可以求出有关的未知量，或者对代数式进行化简求值，对于有些三项式的因式分解问题，利用配方法就可以转化为乘法公式的形式，从而可以利用乘法公式进一步分解因式，配方法也是解方程的一种基本工具之一，任何一个一元二次方程都可以利用配方法化为(x+m)²=n(n≥0)的形式，然后通过两边同时开平方即可求出x的值，一元二次方程的求根公式x=

事实上只是配方法的结果罢了。而解决二次函数的极值和顶点坐标等问题也都与配方法密切相关。因此同学们一定要熟练掌握配方法。在解题中，同学们要洞察问题的实质和联系，利用配方法将数学问题化难为易，很多问题就会迎刃而解！这正是：山重水复疑无路，柳暗花明又一村！