函数的识别
例1:下列关系式中哪些是函数,哪些不是?
(1)y=x;(2)y=x²+z;(3)y²=x;(4)y=±√x
解析:要判断一个关系式是不是函数,首先看这个变化过程中是否只有两个变量,其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值.
解:(1)此关系式只有两个变量,且每一个x值对应唯一的一个y值,故它是函数.
(2)此关系式中有三个变量,因此y不是x的函数.
(3)此关系式中虽然只有两个变量,但对于每一个确定的x值(x>0)对应的都有2个y值,如当x=4时,y=±2,故它不是函数.
(4)对于每个确定的x值(x>0)对应的都有2个y值,如当x=9时,y=±3,故它不是函数.
方法总结:由函数的定义可知在某个变化过程中,有两个变量x和y,对于每一个确定的x值,y值都有且只有一个值与之对应,当x值取不同的值时,y的值可以相等也可以不相等,但如果一个x的值对应着两个不同的y值,那么y一定不是x的函数.根据这一点,我们可以判定一个关系式是否表示函数.
自变量的取值范围
例1.函数y=√(x+1)的自变量x的取值范围是( )
A.x≠1
B.x≥-1
C.x>-1
D.x≥1
解析:要使y=√(x+1)有意义,则必须满足x+1≥0,∴x≥-1.故选B.
方法总结:求自变量的取值范围应从两个方面考虑:一是必须使含自变量的代数式有意义,二是满足实际问题.
函数三种表示方法
例:早年间某地区遭遇了严重干旱.某水库的蓄水量随着时间的增加而减小,干旱持续时间t(天)与蓄水量V(万立方米)的变化情况如图所示,根据图象回答问题.
(1)这个图象反映了哪两个变量之间的关系?
(2)根据图象填表:
(3)当t取0至60天之间的任一值时,对应几个V值?
(4)V可以看成t的函数吗?如果是,试写出用自变量表示函数的式子.
解析:(1)通过读图可知,横坐标表示干旱持续时间,纵坐标表示蓄水量,因此它表示的是干旱持续时间与水库蓄水量之间的关系;
(2)根据图象信息确定每个特殊点的坐标即可;
(3)观察图象可得;
(4)可根据函数的定义来判断.
解:(1)图象反映了干旱持续时间与水库蓄水量之间的关系;
(2)如下表:
(3)当t取0至60天之间的任一值时,对应着一个V值;
(4)V是t的函数.
根据图象可知,该水库初始蓄水量为1200万立方米,干旱每持续10天,蓄水量减少200万立方米,由此写出的式子为:V=1200-200/10t==-20t+1200(0≤t≤60)
方法总结:三种函数表示方法之间有互补性,是可以相互转化的.
求函数值
例.求当x=-4时的函数值。
(1)y=(x+2)/4;(2)y=1/(2x+1)
解析:利用已知x的值,代入关系式求出即可.
解:(1)代入x=-4,得y=(-4+2)/4=-1/2
(2)代入x=-4,得y=1/(-8+1)=-1/7
方法总结:利用函数值的定义,正确代入自变量的取值求解是解题的关键.
函数图像
例: 洗衣机在洗涤衣服时,每浆洗一遍都经历了注水、清洗、排水三个连续过程(工作前洗衣机内无水).在这三个过程中,洗衣机内的水量y(升)与浆洗一遍的时间x(分)之间函数关系的图象大致为()
解析:∵洗衣机工作前洗衣机内无水,∴A,B两选项不正确,淘汰;又∵洗衣机最后排完水,∴D选项不正确,淘汰,所以选项C正确,故选C.
方法总结:本题考查了对函数图象的理解能力,看函数图象要理解两个变量的变化情况.
一次函数与正比例函数的识别
例: 下列函数关系式中,哪些是一次函数,哪些是正比例函数?
(1)y=-x-4;
(2)y=5x²-6;
(3)y=2πx;
(4)y=-2/x;
(5)y=1/x;
(6)y=8x²+x(1-8x).
解析:首先看每个函数的表达式能否变形转化为y=kx+b(k≠0,k、b是常数)的形式,如果x的次数是1,则是一次函数,否则不是一次函数;在一次函数中,如果常数项b=0,那么它是正比例函数.
解:(1)是一次函数,不是正比例函数;
(2)不是一次函数,也不是正比例函数;
(3)是一次函数,也是正比例函数;
(4)是一次函数,也是正比例函数;
(5)不是一次函数,也不是正比例函数;
(6)是一次函数,也是正比例函数.
方法总结:一个函数是一次函数的条件:自变量是一次整式,一次项系数不为零; 判断一个函数是正比例函数的条件:自变量是一次整式,一次项系数不为零,常数项为零.
根据一次函数和正比例函数的定义求字母的值
(1)若它是一次函数,求m的值;
(2)若它是正比例函数,求m的值.
解析:(1)要使函数是一次函数,根据一次函数的定义x的指数m²-24=1,且一次项系数m-5≠0;(2)要使函数是正比例函数,除了满足上述条件外,还需加上m+1=0这个条件.
解:(1)因为该函数是一次函数,所以m²-24=1且m-5≠0,所以m=±5且m≠5,所以m=-5.所以当m=-5时,原函数是一次函数.
(2)因为已知函数是一次函数,所以m²-24=1且m-5≠0且m+1=0.所以m=±5且m≠5且m=-1,则这样的m不存在,所以函数不可能为正比例函数.
方法总结:函数是一次函数,则k≠0,且自变量的次数为1.当b=0时,一次函数为正比例函数.
正比例函数的图像画法
例:画出函数y=-2x的图象.
解析:当x=0时,y=0;当x=1时,y=-2.经过原点O(0,0)和点A(1,-2)作直线,则这条直线就是函数y=-2x的图象.
解:如图:
方法总结:作函数图象的一般步骤:列表,描点,连线,正比例函数的图象是经过原点的直线,只需再另外找一点就可作出图象.
正比函数的图像
例:已知正比例函数y=kx(k≠0),当x=-1时,y=-2,则它的图象大致是()
解析:将x=-1,y=-2代入正比例函数y=kx(k≠0)中,求出k的值为2,即可根据正比例函数的性质判断出函数的大致图象,故选C.
方法总结:本题考查了正比例函数的图象,知道正比例函数的图象是过原点的直线,且当k>0时,图象过一、三象限;当k<>
正比例函数的性质
例:已知正比例函数y=-kx的图象经过一、三象限, P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂)、P₃(x₃,y₃)三点在函数y=(k-2)x的图象上,且x₁>x₃>x₂,则y₁,y₂,y₃的大小关系为()
A.y₁>y₃>y₂
B.y₁>y₂>y₃
C.y₁<><>
D.y₃>y₂>y₁
解析:由y=-kx的图象经过一、三象限,可知-k>0即k<><0.由正比例函数的性质可知,y=(k-2)x的函数值y随x的增大而减小,则由x₁>x₃>x₂得y₁<><>
方法总结:正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的变化情况由k的符号决定.k>0时,y随x的增大而增大;k<>
确定正比例函数的表达式
解析:本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的,即自变量的指数为1,系数不为0,这种类型简称为定义式.
解:由正比例函数的定义知m²-15=1且m-4≠0,∴m=-4,∴y=-8x.
方法总结:利用正比例函数的定义确定表达式:自变量的指数为1,系数不为0.
确定一次函数的表达式
例: 已知一次函数的图象经过(0,5)、(2,-5)两点,求一次函数的表达式.
解析:先设一次函数的表达式为y=kx+b,因为它的图象经过(0,5)、(2,-5)两点,所以当x=0时,y=5;当x=2时,y=-5.由此可以得到两个关于k、b的方程,通过解方程即可求出待定系数k和b的值,再代回原设即可.
解:设一次函数的表达式为y=kx+b,根据题意,5=b且-5=-2k+b解得k=-5,b=5.
∴一次函数的表达式为y=-5x+5.
方法总结:“两点式”是求一次函数表达式的基本题型.二次函数y=kx+b中有两个待定系数k、b,因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式.
根据图像确定一次函数表达式
例: 正比例函数与一次函数的图象如图所示,它们的交点为A(4,3),B为一次函数的图象与y轴的交点,且OA=2OB.求正比例函数与一次函数的表达式.
解析:根据A(4,3)可以求出正比例函数表达式,利用勾股定理可以求出OA的长,从而可以求出点B的坐标,根据A、B两点的坐标可以求出一次函数的表达式.
解:解:设正比例函数的表达式为y₁=k₁x,一次函数的表达式为y₂=k₂x+b.
∵点A(4,3)是它们的交点,
∴代入上述表达式中,得3=4k₁,3=4k₂+b
∴k₁=3/4,即正比例函数的表达式为y=3/4x
∵OA=√(3²+4²)=5且OA=2OB
∴OB=5/2
∵点B在y轴的负半轴上
∴B点的坐标为(0,-5/2)
又∵点B在一次函数y₂=k₂x+b的图象上
∴-5/2=b代入3=4k₂+b中,得k₂=11/8
∴一次函数的表达式为y₂=11/8x-5/2
方法总结:根据图象确定一次函数的表达式的方法:从图象上选取两个已知点的坐标,然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数,从而求出函数的表达式.
根据实际问题确定一次函数表达式
例: 某商店售货时,在进价的基础上加一定利润,其数量x与售价y的关系如下表所示,请你根据表中所提供的信息,列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式,并求出当数量是2.5千克时的售价.
解析:从图表中可以看出售价由8+0.4依次向下扩大到2倍、3倍、……
解:由表中信息,得y=(8+0.4)x=8.4x,即售价y与数量x的函数关系式为y=8.4x.当x=2.5时,y=8.4×2.5=21.所以数量是2.5千克时的售价是21元.
方法总结:解此类题要根据所给的条件建立数学模型,得出变化关系,并求出函数的表达式,根据函数的表达式作答
利用图像获取信息
例: 由于干旱,某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降.若该水库的蓄水量V(万米3)与干旱的时间t(天)的关系如图所示,则下列说法正确的是()
A.干旱开始后,蓄水量每天减少20万米³
B.干旱开始后,蓄水量每天增加20万米³
C.干旱开始时,蓄水量为200万米³
D.干旱第50天时,蓄水量为1200万米³
解析:从图象上观察:当t=0时,V=1200;当t=50时,V=200.所以从干旱开始到第50天,蓄水量减少了1200-200=1000(万米³),则每天减少1000÷50=20(万米³).故选A.
方法总结:要认真观察图象,结合题意,弄清各点所表示的意义.
一次函数与一元一次方程
例: 一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象如图所示,根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为()
A.x=-1
B.x=2
C.x=0
D.x=3
解析:首先由函数经过点(0,1)可得b=1,再将点(2,3)代入y=kx+1,可求出k的值为1,从而可得出一次函数的表达式为y=x+1,再求出方程x+1=0的解为x=-1,故选A.
方法总结:此题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系,关键是正确利用待定系数法求出一次函数的关系式.
利用两个一次函数解决实际问题
例: 自来水公司有甲、乙两个蓄水池,现将甲池中的水匀速注入乙池,甲、乙两个蓄水池中水的深度y(米)与注水时间x(时)之间的函数图象如图所示,结合图象回答下列问题.
(1)分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数表达式;
(2)求注入多长时间后甲、乙两个蓄水池的深度相同;
(3)3小时后,若将乙蓄水池中的水按原速全部注入甲蓄水池,又需多长时间?
解析:(1)根据图象确定点的坐标,再运用待定系数法确定函数表达式;(2)根据甲、乙两个蓄水池水的深度相同,可以得到一个一元一次方程,解此方程可得注水时间;(3)由图可知乙蓄水池的水深为4米,乙蓄水池水上升的速度为1米/小时,由此求得答案即可.
解:(1)设它们的函数关系式为y=kx+b,根据甲的函数图象可知,当x=0,y=2;当x=3时,y=0,将它们分别代入所设函数关系式y=kx+b中得k=-2/3=2,所以甲蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式为y=-2/3x+2, 同理可得乙蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式为y=x+1;
(2)由题意得-2/3x+2=x+1,得x=3/5,当注水3/5 小时后,甲、乙两个蓄水池水的深度相同;
(3)4÷(3÷3)=4小时.所以若将乙蓄水池中的水按原速全部注入甲蓄水池,又需要4小时.
方法总结:本题首先根据图象确定一次函数的表达式.然后结合方程思想解题.
利用两个一次函数解决几何问题
例:已知一次函数y=3/2x+a和y=-1/2x+b的图象都经过点A(-4,0),且与y轴分别交于B、C两点,求△ABC的面积.
解析:充分利用数形结合的方法,求出点B,C的坐标,求得BC的长,进而求出面积.
∵函数y=3/2x+a和y=-1/2x+b的图象都经过点A(-4,0)
∴3/2×(-4)+a=0,-1/2×(-4)+b=0
∴a=6,b=-2.
∴两个一次函数分别是y=3/2x+6和y=-1/2x-2,y=3/2x+6与y轴交于点B,则y=3/2×0+6=6,
∴B(0,6);
y=-1/2x-2与y轴交于点C,则y=-2,
∴C(0,-2).如图所示,△ABC面积S=1/2BC·AO=1/2×4×(6+2)=16
方法总结:解此类题要先求得顶点的坐标,即两个一次函数的交点和它们分别与x轴、y轴交点的坐标.
0.由正比例函数的性质可知,y=(k-2)x的函数值y随x的增大而减小,则由x₁>联系客服