解题方法探究：直角三角形的存在性问题

有关直角三角形的存在性问题，一般都是放在平面直角坐标系中和抛物线结合起来考察，这种题的解法套路一般都是固定的，同学们在学习的过程中只需要牢固掌握直角三角形存在的基本模型：两线一圆，多加练习，这类问题就可以轻松掌握。

模型讲解

“两线一圆”模型：

在平面直角坐标系中遇到直角三角形的相关问题时，通常是以直角顶点作为分类标准，如下图，分别以点A、点B、点M为直角定点来构造直角三角形，然后根据相关条件来进行求解即可。

已知:定点A(2，1)、B(6，4)和动点M(m，0)，存在直角三角形。

具体有以下三种情况：（1）过点A作直线AM垂直AB，交x轴于点M；

（2）过点B作直线BM垂直AB，交x轴于点M；

（3）根据直径所对的圆周角为90度，以AB为直径作圆，交x轴的点即为满足条件的点M（一般情况下有两个交点，特殊情况下只有一个交点），然后根据相关条件来进行求解即可。

作出图形后，具体求解方法有三种：

方法一：“K型”图（有的叫“一线三等角”），三角形相似

易得△ACM∽△BEA 易得△AEB

求得CM，从而求出点 ∽△BFM

M的坐标。 求得BF，从 而得M的坐标

方法二：勾股定理

∵BH²=BG²-GH²

BH²=BM²-HM²

∴BG²-GH² =BM²-HM²

∵AC²+CM²=AM²

MD²+BD²=BM²

AM²+BM²=AB²

∴AC²+CM²+MD²+BD²=AB²

方法三：解析法（来源于高中的解析几何，虽然有点超纲，但是很多老师都教学生这种方法）

KAB·KAM=-1，直线BM与x轴的交点即为M。

KAB·KBM=-1，直线A与x轴的交点即为M。

继续巩固:

两线一圆

总结:

几何法:先分类;再画图，构造相似;列比例式求解。

勾股定理:先罗列三边，再分类列方程，后解方程，检验。

解析法:先分类画图，k1·k2=-1，求直线解析式，交点坐标。