一、二次函数知识点(归纳总结)
1、二次函数解析式的三种形式
① 一般式:
二次函数一般式
② 顶点式:
二次函数顶点式
③ 零点式:
二次函数零点式
2、二次函数的图象和性质
二次函数的图象和性质
二、二次函数的主要题型(归纳总结)
1、求二次函数的解析式
【例题1】已知二次函数 f(x) 与 x 轴的两个交点坐标为 (0,0) 和 (-2,0) 且有最小值 -1,
则 f(x) = .
【解析】
设二次函数的解析式为 f(x) = ax(x+2) ,
【答案】 f(x) = x^2 + 2x .
【例题2】已知二次函数 f(x) 的图象经过点 (4,3) , 它在 x 轴上截得的线段长为 2 ,
并且对任意 x ∈ R ,都有 f(2-x) = f(2+x) ,求 f(x) 的解析式.
【解析】
∵ f(2-x) = f(2+x) 对任意 x ∈ R 恒成立 ,
∴ f(x) 的对称轴为 x = 2 .
又 ∵ f(x) 的图象被 x 轴截得的线段长为 2 .
∴ f(x) = 0 的两根为 1 和 3 .
设二次函数 f(x) 的解析式为 f(x) = a(x-1)(x-3)(a≠0) ,
又 ∵ f(x) 的图象经过点 (4,3) ,
∴ 3a = 3 , a = 1 ,
∴ f(x) 的解析式为 f(x) = (x-1)(x-3) ,
即 f(x) = x^2 - 4x + 3 .
【归纳总结】 求二次函数解析式的方法
求二次函数解析式的方法
2、二次函数的图象和性质
① 二次函数的单调性
【例题3】已知函数
在区间 [-1,+∞) 上是递减的,则实数 a 的取值范围是 .
【解析】
当 a = 0 时,f(x) = -3x + 1 在[-1,+∞) 上递减 ,满足条件 .
当 a ≠ 0 时,
解得 -3 ≤ a < 0 ,
综上所述,a 的取值范围为 [-3,0] .
② 求二次函数的值域
(1)、二次函数在定轴定区间的取值范围
【例题4】函数 y = x^2 - 2x + 3 在闭区间 [0,2] 上取值范围为 .
【解析】画图像,找出最高点和最低点,即可。
【答案】[2,3] .
(2)、二次函数在定轴动区间的取值范围
【例题5】已知函数 y = x^2 - 2x + 3 在闭区间 [0,m] 上有最大值 3 ,最小值 2,
则 m 的取值范围为 .
【解析】
如下图所示,由图象可知 m 的取值范围是 [1,2] .
【答案】[1,2] .
【例题6】求函数 y = x^2 - 2x + 3 在闭区间 [0,m] 上的取值范围为 .
【解析】
①、当 0 < m ≤ 1 时,如下图所示
当 0 < m ≤ 1 时
②、当 1 < m ≤ 2 时,如下图所示
当 1 < m ≤ 2 时
③、当 m > 2 时,如下图所示
当 m > 2 时
(3)、二次函数在动轴定区间的取值范围
【例题7】已知二次函数
求函数 f(x) 的值域.
【解析】
①、当对称轴 1/a ≥ 2 时,如图所示
当对称轴 1/a ≥ 2 时
值域为 [-1/a , a-2]
②、当对称轴 1<1/a < 2 时,如图所示
当对称轴 1<1/a < 2 时
③、当对称轴 1/a ≤ 1 时,如图所示
当对称轴 1/a ≤ 1 时
【归纳总结】
都是根据对称轴和开口方向来画草图,在草图上找到最高点和最低点的.
3、二次函数中的恒成立问题
【例题8】已知 a 是实数,函数
在 x ∈[-1,1] 上恒小于零,则实数 a 的取值范围为 .
【解析】
【答案】(-∞ , 1/2) .
【例题9】若
求实数 t 的取值范围.
【解析】
【答案】[-3/4 , 3/4] .
【归纳总结】
(1)二次函数最值问题的解法:
抓住“三点一轴”数形结合,
三点是指区间两个端点和中点,
一轴指的是对称轴,
结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.
(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
①一般有两个解题思路:
一是分离参数;二是不分离参数.
②两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.
这两个思路的依据是:
三、分类讨论思想在求二次函数最值中的应用
【例题10】已知函数
在区间 [-1 , 2] 上有最大值 4 ,求实数 a 的值.
【解题思路】
已知函数 f(x) 的最值,而函数 f(x) 图象由对称轴等确定,需要讨论 a 的符号.
【解析】
(1) 当 a = 0 时,函数 f(x) 在区间 [-1 , 2] 上的值为常数,不符合题意,舍去;
(2) 当 a > 0 时,函数 f(x) 在区间 [-1 , 2] 上是增函数,
最大值为 f(2) = 8a + 1 = 4 ,
解得 a = 3/8 ;
(3) 当 a < 0 时,函数 f(x) 在区间 [-1 , 2] 上是减函数,
最大值为 f(-1) = 1 - a = 4 ,
解得 a = -3 ;
综上所述,a 的值为 3/8 或 -3 .
联系客服