1.利用三角恒等变换求三角函数的周期及单调区间
求解较为复杂的三角函数的单调区间和周期,一般要经过变形转化与代入求解.破解此类题的关键点如下.
①变形转化,转化为含一个角的三角函教(形如y=Asin(ωx+φ)+k,y=Acos(ωx+φ)+k或y=Atan(ωx+φ)+k).
②代入求解,把ωx+φ看成一个整体代入y=Asinx(y=Acosx或y=Atanx)的相应单调区间内即可得.
2.解答三角函数图像与性质综合题的一般步骤:
经典例题:[2018全国卷]
函数f(x)=cos(3x+π/6)在[0,π]的零点个数为________.
解析:由f(x)=cos(3x+π/6)=0,有3x+π/6=kπ+π/2(k∈Z),
解得x=kπ/3+π/9,
由0≤kπ/3+π/9≤π得k可取0,1,2,
∴f(x)=cos(3x+π/6)在[0,π]上有3个零点.
总结:平移变换实质就是点的坐标的变换,横坐标的平移变换对应着图象的左右平移,纵坐标的平移变换对应着图象的上下平移.一般可选定变换前后的两个函数f(x),g(x)的图象与x轴的交点(如图象上升时与x轴的交点)分别为(x1,0),(x2,0)(f(x1)=0,g(x2)=0),则由x2-x1的值可判断出左右平移的情况,由g(x)max-f(x)max的值可判断出上下平移的情况,由三角函数最小正周期的变化判断伸缩变换.
经典例题:[2018天津卷]
将函数y=sin(2x+π/5)的图象向右平移π/10个单位长度,所得图象对应的函数
A. 在区间[3π/4,5π/4]上单调递增
B. 在区间[3π/4,π]上单调递减
C. 在区间[5π/4,3π/2]上单调递增
D. 在区间[3π/2,2π]上单调递减
思路分析:由题意首先求得平移之后的函数解析式,然后确定函数的单调区间即可.
解析:由函数图象平移变换的性质可知:
将y=sin(2x+π/5)的图象向右平移π/10个单位长度之后的解析式为:
y=sin[2(x-π/10)+π/5].
则函数的单调递增区间满足:2kπ-π/2≤2x≤2kπ+π/2(k∈Z),
即kπ-π/4≤x≤kπ+π/4(k∈Z),
令k=1可得一个单调递增区间为:[3π/4,5π/4].
函数的单调递减区间满足:2kπ+π/2≤2x≤2kπ+3π/2(k∈Z),
即kπ+π/4≤x≤kπ+3π/4(k∈Z),
令k=1可得一个单调递减区间为: [5π/4,7π/4].本题选择A选项.
答案:A
总结:(1)代换法是求三角函数单调区间的基本方法,就是将比较复杂的三角函数解析武中的代数式整体看成一个角u(或t),利用基本三角函数的单调性列不等式求解.(2)求解三角函数的单调区间时,若x的系数为负数应先化为正,同时切莫漏掉函数自身的定义域.
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