初中必会几何模型（口诀突破）：角平分线 平行线

教材分析：

平行线是把线的位置关系与角的数量关系结合的一个重要知识点；角平分线是对角数量倍数关系与代数知识的结合点。

模型呈现：

如图，P是∠MON的平分线上一点，过P点作P Q∥ON,交OM于点Q，则△POQ是等腰三角形。

模型解析：

划重点，上口诀：

平分线遇平行线，

必有等腰边。

模型实例：

①三角形两内角平分线遇平行线：

如图①，△ABC中，EF∥BC，点D在EF上.BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB，写出线段EF与BE、CF有什么数量关系?

解答：∵EF//BC，

∴∠EDB=∠DBC.

∵BD平分∠EBC，

∴∠EBD=∠DBC=∠EDB.

∴EB=ED.

同理：DF=FC.

∴EF=ED+DF=BE+CF.

②三角形一内角、外角平分线遇平行线：

如图，BD平分∠ABC，CD平分外角∠ACG.DE∥BC交AB于点E，交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么数量关系?并说明理由。

解答：图中有EF=BE-CF，

∵BD平分∠BAC，

∴∠ABD=∠DBC.

又∵DE∥BC，

∴∠EDB=∠DBC.

∴DE=EB.

同理可证：CF=DF.

∴EF=DE-DF=BE-CF.

③三角形两外角平分线遇平行线：

如图，BD、CD为外角∠CBM、∠BCN的平分线，DE∥BC交AB延长线于点E，交AC延长线于点F，直接写出线段EF与BE、CF有什么数量关系?

解答：EF=BE+CF。过程略。

小试牛刀：

1.如图，在△ABC中，∠ABC和LACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若BM+CN=9，则线段MN的长为多少。

模型小结：

有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。

再次提醒：

平分线遇平行线，

必有等腰边。