学习了全等三角形和等腰三角形的性质后，与此相关的几何题的类型非常丰富，常见的类型有：说明数量关系、位置关系、线段的和差关系、倍分关系等。下面我们将一一举例说明。
类型一：说明数量关系
题型1：说明线段相等
例1：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF，求证：DE＝DF．
例1图
【分析】首先连接AD，由AB＝AC，D是BC的中点，根据三线合一的性质，可得∠EAD＝∠FAD，又由SAS，可判定△AED≌△AFD，继而证得DE＝DF．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
题型2：说明角相等
例2：如图所示，△ABC是等边三角形，延长BC至E，延长BA至F，使AF＝BE，连接CF、EF，过点F作直线FD⊥CE于D，试发现∠FCE与∠FEC的数量关系，并说明理由．
例2图
【分析】延长BE到G，使EG＝BC，并连FG，根据题意，△ABC是等边三角形可推出△GBF也为等边三角形，可得BC＝EG，∠B＝∠G，BF＝FG，使△BCF≌△GEF，可得CF＝EF，即可得出∠FCE＝∠FEC．
【解答】解：如图所示，延长BE到G，使EG＝BC，连FG．
∵AF＝BE，△ABC为等边三角形，
∴BF＝BG，∠ABC＝60°，
∴△GBF也是等边三角形．在△BCF和△GEF中，
∵BC＝EG，∠B＝∠G＝60°，BF＝FG，
∴△BCF≌△GEF（SAS），
∴FC＝EF，
∴∠FCE＝∠FEC．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质；作辅助线构造全等三角形是正确解答本题的关键，在以后的学习过程中应多加总结和分析．
类型二：说明位置关系
题型1：说明平行关系
例3：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BA延长线上一点，点E是AC的中点．
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作∠DAC的平分线AM；连接BE，并延长交AM于点G；
②过点A作BC的垂线，垂足为F．
（2）猜想与证明：猜想AG与BF有怎样的位置关系，并说明理由．
例3图
【分析】（1）利用基本作图（作一个角的平分线和过一点作直线的垂线）求解；
（2）先利用等腰三角形的性质得∠ABC＝∠C，再利用三角形外角性质和角平分线定义可得∠GAC＝∠C，则可判断AG∥BF
【解答】解：（1）如图；
（2）AG∥BF，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠DAC＝∠ABC+∠C＝2∠C，
∵AM平分∠ABC，
∴∠DAC＝2∠GAC，
∴∠GAC＝∠C
∴AG∥BC，即AG∥BF
题型2：说明垂直关系
例4：如图，△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且BD=CF，BE=CD，G是EF的中点，求证：DG⊥EF．
例4图
【分析】首先连 ED，DF，再证明△BDE≌△CFD，进而得到DE=DF，然后根据等腰三角形的性质可得DG⊥EF．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定定理．
类型三：说明倍分关系
例5：如图，△ABC中，AB＝AC，AD和BE是两条高，交于点H，且AE＝BE．求证AH＝2BD．
例5图
【分析】根据ASA推出△AEH≌△BEC，根据全等三角形的性质得出AH=BC，根据等腰三角形的性质得出BC=2BD即可．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
类型四：说明和差关系
例6：如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，求证：AB+BD=AC．
例6图
【分析】在AC上截取AE=AB，利用“边角边”证明△ABD和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=BD，全等三角形对应角相等可得∠AED=∠ABC，然后求出∠C=∠CDE，根据等角对等边可得CE=DE，然后结合图形整理即可得证．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．
望大家进行补充~
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