2018东营市中考数学压轴题

（2018·东营）如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．

（1）求线段OC的长度；

（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】

解：（1）由题可知当y=0时，a（x﹣1）（x﹣3）=0，

解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0），

∴OA=1，OB=3

∵△OCA∽△OBC，

∴OC：OB=OA：OC，

∴OC²=OA·OB=3，

则OC=√3；

（2）∵C是BM的中点，即OC为斜边BM的中线，

∴OC=BC，

∴点C的横坐标为3/2，

又OC=√3，点C在x轴下方，

∴C（3/2，﹣√3/2），

设直线BM的解析式为y=kx+b，

把点B（3，0），C（3/2，﹣√3/2）代入得：

3k+b=0，3/2 k+b=-√3/2，

解得：b=﹣√3，k=√3/3，

∴y=√3/3x﹣√3，

又∵点C（3/2，﹣√3/2）在抛物线上，代入抛物线解析式，

解得：a=(2√3)/3，

∴抛物线解析式为y=(2√3)/3x²﹣(8√3)/3x+2√3；

（3）点P存在，

设点P坐标为（x，(2√3)/3x²﹣(8√3)/3x+2√3），过点P作PQ⊥x轴交直线BM于点Q，

则Q（x，√3/3x﹣√3），

∴PQ=√3/3x﹣√3﹣（(2√3)/3x²﹣(8√3)/3x+2√3）

=﹣(2√3)/3x²+3√3x﹣3√3，

当△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大，

S△BCP=1/2PQ（3﹣x）+1/2PQ（x﹣3/2）

=3/4PQ

=﹣√3/2x²+(9√3)/4x﹣(9√3)/4，

当x=﹣b/2a=9/4时，S△BCP有最大值，四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为（9/4，﹣(5√3)/8）．