中级数学10-指数、对数函数

• 复合函数、反函数
• 指数函数
• 对数函数
• 对数的性质

对数、指数函数

指数、对数函数在描述日常生活中的增长问题有很大的帮助。本章学习它们的函数图像以及相关性质。

复合函数、反函数

复合函数是一种嵌套函数形式，即一个函数的输出是另一个函数的输入，如：(f⊙g)(x)=f(g(x))。

定义域的x与值域y之间是一对一关系的函数，即一个y只有一个x值与之对应，称为一对一映射关系函数。判断方式：坐标系中任意画一条平行于x轴的直线，最多与函数图像相交于一点。

一对一关系函数

非一对一关系函数

我们知道函数关系定义中每个x值有且仅有一个y值与其对应。一对一函数有如下映射关系

对应x与y相互只有一个值，即反函数形式也符合函数的关系定义

如果y=f(x)存在反函数且(x，y)是函数f(x)上的点，那么(y，x)是其反函数上的点。这两个点是关于y=x对称的，如(1,3)与(3,1)

函数与其反函数关于y=x对称

函数的定义域是其反函数的值域，而函数的值域是反函数的定义域。

已知一个函数如何得到它的反函数呢？

最后需要验证一下是否互反

指数函数

指数函数的形式：a > 0 且 a ≠ 1

• a > 0：若a=-4时

x=1/2, f(1/2)不在实数域

• a ≠ 1：因为1的x次方都等于1，f(x)是一个常数函数

指数函数的图像：

底数分别为2、3的函数图像

指数函数性质：

左图a>1，右图0<a<1

前面是a为有理数的情况下讨论指数函数。在科学及经济等领域有一个很常用的无理数--e为基的指数函数。e的由来

n为非0自然数

当n逐渐增大直至无穷大时，f(n)无限趋近于一个无理数

数学上将n→∞时，f(n)所趋近的无理数用e表示。e≈2.718281827，称它为自然常数。

自然指数函数

2<e<3，它对应的图像在2、3为基的指数函数之间

对数函数

根据指数函数的图像及其性质可知，它们是一对一的函数，所以指数函数一定存在反函数。那么它的反函数是什么呢？数学上用log(Logarithmic)来表示指数函数的反函数--对数函数。

a>0且a≠1, x>0

对数函数的性质

指数函数与对数函数的图像关系

自然对数函数可以用f(x)=lnx表示，底数(基)为e。以10为底数(基)的对数函数用f(x)=logx表示。

对数的性质

a为实数，a的0次方等于1，a的1次方等于a。对应的对数

a>0且a≠1，x>0时

另外，乘除、幂的性质，换底公式