在直角坐标系求最值是初二数学的重要题型，本文就例题详细解析求某点到原点的最大距离这类题型的解题方法，希望能给初二学生的数学学习带来帮助。

例题

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，求点B到原点O的最大距离。

解题过程：

取AC的中点D，连接OD、BD、BO

根据直角三角形性质和题目中的条件：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，x轴⊥y轴，点D为AC的中点，则OD=CD=AD=AC/2；

根据题目中的条件和结论：OD=CD=AD=AC/2，AC=4，则OD=CD=AD=2；

根据勾股定理和题目中的条件：∠ACB=90°，CD=2，BC=2，BD^2=CD^2+BC^2，则BD=2√2；

根据题目中的条件和结论：点A在x轴运动，AC保持不变，OD=AC/2，则OD、CD保持不变；

根据题目中的条件和结论：点A在x轴运动，BC、CD保持不变，BD^2=CD^2+BC^2，则BD保持不变；

根据三角形三边长的关系和结论：三角形的两边之和大于第三边，在△BDO中，OD+BD>BO，OD、BD保持不变，则当OD+BD=BO时，BO取到最大值，即O、D、B三点在一条直线上；

根据结论：OD=2，BD=2√2，则BO=OD+BD=2+2√2；

所以，点B到原点O的最大距离为2+2√2。

结语

解决本题的关键是利用直角三角形的性质求解直角坐标系中的最值问题。首先，必须合理添加辅助线，构造出直角三角形的中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半性质和勾股定理求得相关线段长度的值固定不变，再根据三角形三边长的关系求解得到动点到原点的最大距离。

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