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[考点解读]
1.了解集合的含义.体会元素与集合的关系,能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述具体问题.
2.理解集合间的相等与包含关系,会求集合的子集,了解全集与空集的含义.(重点)
3.在理解集合间的交、并、补的含义的基础上,会求两个集合的并集与交集,会求给定子集的补集.(重点、难点)
4.能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算.
[考情考向分析]
集合的含义与表示是集合运算和应用的基础,元素与集合的关系、集合间的关系多以填空题形式考查,低档难度;集合的概念有时与数列等知识交汇,中低档难度.
基础知识过关
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系有属于或不属于两种,用符号∈或∉表示.
(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
常见数集的记法
2.集合间的基本关系
集合间的基本关系
3.集合的基本运算
集合的基本运算
4.集合的运算性质
(1)并集的性质:A∪∅=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A.
(2)交集的性质:A∩∅=∅;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B.
(3)补集的性质
补集的性质
(4)若有限集A中有n个元素,则
子集个数规律
【概念方法微思考】
1.两个集合{a,b}和{(a,b)}是否相同?
提示:不同,{a,b}是数集,{(a,b)}是点集.
2.由运算A∩B=A可以得到集合A,B具有什么关系?
提示 A∩B=A⇔A⊆B⇔A∪B=B.
题组微热身
一、走进教材
第1题
答案 D
2.(必修1P12B组T1改编)已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},则集合M∪N的子集的个数为________。
解析 由已知得M∪N={0,1,2,3,4,5},所以M∪N的子集有26=64(个)。
答案 64
二、走近高考
3.(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M={-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=( )
A.{x|-4<x<3} B.{x|-4<x<-2} C.{x|-2<x<2} D.{x|2<x<3}
答案 C
4.(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A={0,2},B={ -2,-1,0,1,2},则A∩B=( )
A.{0,2} B.{1,2} C.{0} D.{-2,-1,0,1,2}
解析 根据集合交集中元素的特征,可以求得A∩B={0,2}。故选A。
答案 A
5.(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )
A.{0} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2}
解析 因为A={x|x-1≥0}={x|x≥1},B={0,1,2},所以A∩B={1,2}。故选C。
答案 C
6.(2017·全国卷Ⅲ)
第6题
【一题多解】解析:集合A表示单位圆上的点的集合,集合B表示直线y=x上的点的集合,根据图象容易判断有两个交点,故选B。
答案 B
三、走出误区
微提醒:①忽视集合的互异性致使出错;②分类讨论不全面导致漏解。
7.
第7题
8.已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是________。
解析 易得M={a}。因为M∩N=N,所以N⊆M,所以N=∅或N=M,所以a=0或a=±1。
答案 0或1或-1
微考点 大课堂
考点一 集合的概念
【例1】 (1)已知集合A={1,2,4},则集合B={(x,y)|x∈A,y∈A}中元素的个数为( )
A.3 B.6 C.8 D.9
解析 (1)集合B中元素有(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4),共9个。故选D。
(2)
第(2)题
【方法锦囊】
1.研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合;然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么,从而准确把握集合的含义。
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合是否满足元素的互异性。
【变式训练】
(1)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析 (1)a∈{1,2,3},b∈{4,5},则M={5,6,7,8},即M中元素的个数为4。故选B。
(2)
第(2)题及解析
考点二 集合的含义及表示
【例2】(1)
第(1)、(2)题及解析
【互动探究】 本例(2)中的集合A改为A={x|x<-2或x>5},如何求解?
互动探究解析
【方法锦囊】
1.空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解。
2.已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题。
【变式训练】
变式训练(1)、(2)及解析
考点三 集合的运算微点小专题
方向1:集合的基本运算
【例3】 (2018·天津高考)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=( )
A.{-1,1} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{2,3,4}
解析:由题意得,A∪B={-1,0,1,2,3,4},又C={x∈R|-1≤x<2},所以(A∪B)∩C={-1,0,1}。故选C。
答案 C
【方法锦囊】集合的运算要注意数形结合,特别是数轴,Venn图等。
方向2:利用集合运算求参数
【例4】
例4(1)、(2)及解析
【方法锦囊】参数问题要注意分类讨论和等价转化。
方向3:集合的新定义问题
【例5】
例5
例5解析
【方法锦囊】解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:①紧扣新定义。首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,应用到具体的解题过程之中;②用好集合的性质。解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素。
【题点对应练】
对应练1及解析
对应练2及解析
对应练3及解析
放飞思维·开启心智
不明代表元素、忽视端点、遗忘空集致误
集合是高中数学中最基本的概念之一,在历年高考中,集合问题常以选择题或填空题的形式出现,主要考查集合的相关概念、集合间的基本关系、集合的基本运算等,但在平时的学习中,学生往往不能深刻理解这些知识,导致考场上出现各式各样的错误。
一、因忽视代表元素而致误
【典例1】
典例1
【变式训练1】
变式训练1
二、因忽视区间端点而致误
【典例2】 已知集合A={x|2≤x≤3},集合B={x|a<x<a+4},若A∩B=∅,求实数a的取值范围。
【错解】 因为A={x|2≤x≤3},B={x|a<x<a+4},要使A∩B=∅,需满足a+4<2或a>3,即a<-2或a>3,所以实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(3,+∞)。
【剖析】 上述解法的错误原因是忽视了集合A={x|2≤x≤3}的两个端点值2和3,事实上,
当a=3时,B={x|3<x<7},满足A∩B=∅。当a+4=2即a=-2时,B={x|-2<x<2},满足A∩B=∅。
【正解】 因为A={x|2≤x≤3},B={x|a<x<a+4},要使A∩B=∅,需满足a+4≤2或a≥3,即a≤-2或a≥3,所以实数a的取值范围是(-∞,-2]∪[3,+∞)。
【变式训练2】 设集合S={x|x>3或x<-3},T={x|a≤x≤a+8},若S∪T=R,则实数a的取值范围是________。
变式训练2解析
三、因忽视空集的特殊性而致误
【典例3】
典例3
【变式训练3】
变式训练3及解析
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