二次函数讲义（二）

二次函数 y = a（x - h )2 + k ( a ≠ 0 ) 的图象与性质

【学习目标】

1、会用描点法画出二次函数 y = a（x - h )2 + k ( a ≠ 0 )( a 、h 、 k 常数，a ≠ 0 ) 的图象．

掌握抛物线与图象之间的关系；

2、熟练掌握函数 y = a（x - h )2 + k ( a ≠ 0 )的有关性质，并能用函数的性质解决一些实际问题；

3、深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．

【知识点梳理】

1、函数 y = a（x - h )2 ( a ≠ 0 ) 与函数 y = a（x - h )2 + k ( a ≠ 0 ) 的图象与性质

① 函数 y = a（x - h )2 ( a ≠ 0 ) 的图象与性质

② 函数 y = a（x - h )2 + k ( a ≠ 0 ) 的图象与性质

注：

二次函数 y = a（x - h )2 + k ( a ≠ 0 )的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，

借助它的图象与性质，运用数形结合、函数、方程思想解决问题．

2、二次函数的平移

① 平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a（x - h )2 + k，确定其顶点坐标 （h , k）；

⑵ 保持抛物线 y = ax2的形状不变，将其顶点平移到 （h , k）处，具体平移方法如下：

② 平移规律：

在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．

概括成八个字 “左加右减，上加下减”．

注：

【典型例题】

类型一、二次函数 y = a（x - h )2 + k ( a ≠ 0 ) 图象及性质

【例题1】

【答案与解析】

注：

先根据平移的性质求出抛物线 y = -1/2 x2 平移后的抛物线的解析式，

再对比 y = a（x - h )2 + k得到 a、h、k 的值，然后画出图象，由图象回答问题．

【变式】

【例题2】

根据图象知道当 y = 3 时，对应成立的 x 恰好有三个，

∴ k = 3．

故选 D．

注：

此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，

解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．

类型二、二次函数 y = a（x - h )2 + k ( a ≠ 0 ) 性质的综合应用

【例题3】已知：二次函数 y = x2﹣4x + 3．

（1）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；

（2）求出该抛物线与 x 轴的交点坐标；

（3）当 x 取何值时，y＜0．

注：

本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴坐标的求解方法，二次函数与不等式，

熟记性质并把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便．

【例题4】如图所示，抛物线 y1 = √3 （x + 1）2 的顶点为 C，与 y 轴交点为 A，

过点 A 作 y 轴的垂线，交抛物线于另一点 B．

(1) 求直线 AC 的解析式 y2 = kx + b ；

(2) 求 △ABC 的面积；

(3) 当自变量 x 满足什么条件时，有 y1 > y2 ?

【答案与解析】

注：

① 图象都经过 A 点和 C 点，说明 A 点、C 点同时出现在两个图象上，

A、C 两点的坐标均满足两个函数的解析式 .

② 解答这类题时，要画出函数图象，结合几何图形的性质，运用数形结合的思想和抛物线的对称性，

特别要慎重处理平面直角坐标系中的坐标 ( 数 ) 与线段长度 ( 形 ) 之间的关系 .

③ 不要出现符号上的错误，充分利用函数图象弄清函数值与自变量的关系，

利用图象比较函数值的大小，或根据函数值的大小，确定自变量的变化范围．