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题型一 已知两边,找夹角 SAS
1.如图,△ABC中,AB = AC,点 E,F 在边 BC 上,BE = CF,点 D 在 AF 的延长线上,AD = AC,
(1)求证:△ABE ≌ △ACF;
(2)若 ∠BAE = 30°,则 ∠ADC = °.
【解析】
(1)∵ AB = AC,
∴ ∠B = ∠ACF,
在 △ABE 和 △ACF 中,
AB = AC , ∠B = ∠ACF,BE = CF,
∴ △ABE ≌ △ACF(SAS);
(2)∵ △ABE ≌ △ACF,∠BAE = 30°,
∴ ∠CAF = ∠BAE = 30°,
∵ AD = AC,
∴ ∠ADC = ∠ACD,
∴ ∠ADC = 1/2(180° - 30°)= 75°.
2.如图,点 E、F 在 BC 上,BE = CF,AB = DC,∠B = ∠C,AF 与 DE 交于点 G,
求证:GE = GF.
【解析】
∵ BE = CF,
∴ BE + EF = CF + EF,
∴ BF = CE,
在 △ABF 和 △DCE 中,
AB = DC , ∠B = ∠C,BF = CE ,
∴ △ABF ≌ △DCE(SAS),
∴ ∠GEF = ∠GFE,
∴ EG = FG.
3.已知,点 P 是等边三角形 △ABC 中一点,线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60° 到 AQ,连接 PQ、QC.
(1)求证:PB=QC;
(2)若 PA=3,PB=4,∠APB=150°,求 PC 的长度.
【解析】
(1)证明:
∵ 线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60° 到 AQ,
∴ AP = AQ,∠PAQ = 60°,
∴ △APQ 是等边三角形,∠PAC + ∠CAQ = 60°,
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠BAP + ∠PAC = 60°,AB = AC,
∴ ∠BAP = ∠CAQ,
在 △BAP 和 △CAQ 中,
BA = CA , ∠BAP = ∠CAQ,AP = AQ ,
∴ △BAP ≌ △CAQ(SAS),
∴ PB = QC;
(2)解:
∵ 由(1)得 △APQ 是等边三角形,
∴ AP = PQ = 3,∠AQP = 60°,
∵ ∠APB = 150°,
∴ ∠PQC = 150°﹣60° = 90°,
∵ PB = QC,
∴ QC = 4,
∴ △PQC 是直角三角形,
题型二 已知两边,找直角 HL
1.如图,BD = CF,FD⊥BC 于点 D,DE⊥AB 于点 E,BE = CD,若 ∠AFD = 145°,
则 ∠EDF 的度数为( )
A.45° B.55° C.35° D.65°
【解析】
∵ ∠DFC + ∠AFD = 180°,∠AFD = 145°,
∴ ∠DFC = 35°,
∵ DE⊥AB,DF⊥BC,
∴ ∠BED = ∠CDF = 90°.
∵ 在 Rt△BDE 与 Rt△CFD 中 BE = CD,BD = CF,
∴ Rt△BDE ≌ △Rt△CFD,
∴ ∠BDE = ∠CFD = 35°.
∵ ∠EDF + ∠BDE = 90°,
∴ ∠EDF = 55°.
故选 B.
2.如图,∠B = ∠D = 90°,BC = CD,∠1 = 40°,则 ∠2 = ( ).
A.40° B.50° C.60° D.75°
【解析】
∵ ∠B = ∠D = 90°,
在 Rt△ABC 和 Rt△ADC 中,
BC = CD , AC = AC ,
∴ Rt△ABC ≌ Rt△ADC(HL)
∴ ∠2 = ∠ACB = 90° - ∠1 = 50°.
故选:B.
3.如图,直线 l 上有三个正方形 a,b,c,若 a,c 的面积分别为 5 和 11,则 b 的面积为( ).
【解析】
∵ ∠ACB+∠ECD=90°,∠DEC+∠ECD=90°,
∴ ∠ACB=∠DEC,
∵ ∠ABC=∠CDE,AC=CE,
∴ △ABC ≌ △CDE,
∴ BC=DE.
∴ (如上图),根据勾股定理的几何意义,b 的面积=a 的面积+c 的面积,
∴ b 的面积=a 的面积+c 的面积=5+11=16.
故选 C.
题型三 已知两边,找第三边 SSS
1.如图,五边形 ABCDE 中有一正三角形 ACD,若 AB = DE,BC = AE,∠E = 115°,
则 ∠BAE 的度数为何?( )
A.115 B.120 C.125 D.130
【解析】
∵ 三角形 ACD 为正三角形,
∴ AC = AD,∠ACD = ∠ADC = ∠CAD = 60°,
∵ AB = DE,BC = AE,
∴ △ABC ≌ △DEA,
∴ ∠B = ∠E = 115°,∠ACB = ∠EAD,∠BAC = ∠ADE,
∴ ∠ACB + ∠BAC = ∠BAC + ∠DAE = 180°﹣115° = 65°,
∴ ∠BAE = ∠BAC + ∠DAE + ∠CAD = 65° + 60° = 125°,
故选:C.
2.在边长为 1 的正方形网格中标有 A、B、C、D、E、F 六个格点,根据图中标示的各点位置,
与 △ABC 全等的是( )
A.△ACF B.△ACE C.△ABD D.△CEF
【解析】
在 △ABC 中,
A、在 △ACF 中,
则 △ACF 与 △ABC 不全等,故不符合题意;
B、在 △ACE 中,
则 △ACE 与 △ABC 不全等,故不符合题意;
C、在 △ABD 中,
则由 SSS 可证明 △ACE 与 △ABC 全等,故符合题意;
D、在 △CEF 中,
则 △CEF 与 △ABC 不全等,故不符合题意,
故选 C.
3.如图,OA=OB,OC=OD,AD=BC,则图中全等三角形的对数有 ( ).
A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对
【解析】
∵ OA = OB,OC = OD,AD=BC,
∴△DOA ≌ △COB(SSS);
∵ OA = OB,OC = OD,
∴ AC = BD,
∵ AB = AB,AD=BC,
∴ △ABD ≌ △BAC(SSS);
∵ AD = BC,AC = BD,DC = CD,
∴ △ADC ≌ △BCD(SSS).
故选:C.
4.如图,点 B、C、E 三点在同一直线上,且 AB = AD , AC = AE , BC = DE ;
若 ∠1 + ∠2 + ∠3 = 94° ,则 ∠3 的度数为( ).
A.49° B.47° C.45° D.43°
【解析】
在 △ABC 和 △ADE 中,
AB = AD , AC = AE , BC = DE ,
∴ △ABC ≌ △ADE (SSS),
∴ ∠ABC = ∠1,∠BAC = ∠2,
在 △ABC 中,由三角形的外角性质得,∠3 = ∠ABC + ∠BAC = ∠1 + ∠2,
∵ ∠1 + ∠2 + ∠3 = 94°,
∴ 2∠3 = 94°,
∴ ∠3 = 47°.
故选 B.
题型四 已知一边一角( 若边为角的对边,找任意角 AAS )
1.如图,正方形 ABCD 中,AB = 1,点 P 是 BC 边上的任意一点( 异于端点 B、C ),
连接 AP,过 B、D 两点作 BE⊥AP 于点 E,DF⊥AP 于点 F.
(1)求证:EF = DF﹣BE;
(2)若 △ADF 的周长为 7/3 ,求 EF 的长.
【解析】
(1)证明:
∵ BE⊥AP,DF⊥AP,
∴ ∠DFA = ∠AEB = 90°,∠ABE + ∠BAE = 90°,
∵ 四边形 ABCD 为正方形,
∴ AD = AB,∠DAB = 90° = ∠DAF + ∠BAE,
∴ ∠DAF = ∠ABE,
在 △ADF 和 △BAE 中,
∠DAF = ∠ABE,∠DFA = ∠AEB,AD = AB,
∴ △ADF ≌ △BAE(AAS),
∴ AF = BE,DF = AE,
∴ EF = AE﹣AF = DF﹣BE;
(2)解:
设 DF = a,AF = b,EF = DF﹣AF = a﹣b > 0,
∵ △ADF 的周长为 7/3,AD = 1,
∴ DF + AF = 4/3,即 a + b = 4/3,
由勾股定理得:DF2 + AF2 = AD2,即 a2 + b2 = 1,
∴ (a - b)2 = 2(a2 + b2)- (a + b)2 = 2 - 16/9 = 2/9 ,
∴ a - b = √2/3 , 即 EF = √2/3 .
题型五 已知一边一角( 边为角的邻边( 找已知角的另一边SAS ))
1.如图,线段 AD、BE 相交与点 C , 且 △ABC ≌ △DEC,点 M、N 分别为线段 AC、CD 的中点.
求证:
(1)ME = BN;
(2)ME∥BN.
【解析】
(1)∵ △ABC ≌ △DEC,
∴ AC = DC , BC = CE.
∵ 点 M、N 分别为线段 AC、CD 的中点,
∴ CM = CN.
在 △BCN 和 △ECM 中,
AC = DC, ∠BCN = ∠ECM , BC = CE,
∴ △BCN ≌ △ECM(SAS),
∴ ME = BN.
(2)∵ △BCN ≌ △ECM,
∴ ∠CBN = ∠CEM,
∴ ME∥BN.
2.已知:△ABC 是等边三角形,点D、E 分别是边 BC、CA 上的点且BD = CE,AD、BE相交于点O.
(1)求证:△ACD ≌ △BAE;
(2)求 ∠AOB 的度数.
【解析】
(1)∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠BAC = ∠C = 60°,BC = AC,
∵ BD = CE,
∴ BC - BD = AC - CE,
∴ AE = CD,
在 △ACD 和 △BAE 中,
AE = CD , ∠BAE = ∠C = 60°,AB = AC ,
∴ △ACD ≌ △BAE(SAS);
(2)∵ △ACD ≌ △BAE,
∴ ∠CAD = ∠ABE,
∴ ∠AOE = ∠BAD + ∠ABE = ∠BAD + ∠CAD = ∠BAC = 60°,
∴ ∠AOB = 180° - 60° = 120°.
题型六 已知一边一角( 边为角的邻边( 找已知边的对角 AAS))
1.如图,在 ▱ABCD 中,E 是 BC 的中点,连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点 F.
(1)求证:AB = CF;
(2)连接 DE,若 AD = 2AB,求证:DE⊥AF.
【解析】
(1)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AB∥DF,
∴ ∠BAE = ∠F,
∵ E 是 BC 的中点,
∴ BE = CE,
在 △AEB 和 △FEC 中,
∠BAE = ∠F,∠AEB = ∠FEC,BE = EC,
∴ △AEB ≌ △FEC(AAS),
∴ AB = CF;
(2)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AB = CD,
∵ AB = CF,DF = DC + CF ,
∴ DF = 2CF,
∴ DF = 2AB,
∵ AD = 2AB,
∴ AD = DF,
∵ △AEB ≌ △FEC,
∴ AE = EF,
∴ ED⊥AF .
题型七 已知一边一角( 边为角的邻边( 找已知边的另一角 ASA ))
1.如图,∠A=∠B,AE=BE,点 D 在 AC 边上,∠1=∠2,AE 和 BD 相交于点 O.
求证:△AEC ≌ △BED;
【解析】
∵ AE 和 BD 相交于点 O,
∴ ∠AOD = ∠BOE.
在 △AOD 和 △BOE 中,∠A=∠B,
∴ ∠BEO = ∠2.
又 ∵ ∠1 = ∠2,
∴ ∠1 = ∠BEO,
∴ ∠AEC = ∠BED.
在 △AEC 和 △BED 中,
∠A = ∠B,AE = BE , ∠AEC = ∠BED,
∴ △AEC ≌ △BED(ASA).
题型八 已知两角,找两角的夹边 ASA
1.如图,在 △DAE 和 △ABC 中,D 是 AC 上一点,AD = AB,DE∥AB,∠E = ∠C.
求证:AE = BC.
【解析】证明:
∵ DE∥AB,
∴ ∠ADE = ∠BAC.
在 △ADE 和 △BAC 中,
∠E = ∠C ,∠ADE = BAC,AD = AB,
∴ △ADE ≌ △BAC(AAS),
∴ AE = BC.
题型九 已知两角,找任意一边 AAS
1.如图 AF//DE,点 B、C 在线段 AD 上,连接 FC、EB,且 ∠E = ∠F,延长 EB 交 AF 于点 G.
(1)求证:BE//CF
(2)若 CF = BE,求证:AB = CD .
【解析】
(1)∵ AF//DE,
∴ ∠AGB = ∠E,
又∵ ∠E = ∠F,
∴ ∠AGB = ∠F,
∴ BE//CF
(2)∵ BE//CF,
∴ ∠DBE = ∠ACF,
∵ ∠E = ∠F , CF = BE,
∴ ΔACF ≌ ΔDBE,
∴ AC = BD,
∴ AB = CD.
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