圆幂定理，敲重点

相交弦定理

定理：如图，弦AB与弦CD交于圆O内一点P，则PA·PB=PC·PD．

证明：连接AD、BC，

根据有圆周角定理可得：

∠DAP=∠BCP，∠ADP=∠CBP，

∴△APD∽△CPB

∴PA:PC=PD:PB

∴PA·PB=PC·PD

切割线定理

定理：如图，P为圆O外一点，PA是圆的切线，PC是圆的割线，求证：PA²=PB·PC．

证明：连接AB、AC，

根据弦切角定理，可得：

∠PAB=∠C，

又∠P是公共角，

∴△PAB∽△PCA

∴PB:PA=PA:PC

∴PA²=PB·PC

割线定理

定理：如图，P是圆O外一点，PB、PD是圆的两条割线，则PA·PB=PC·PD．

证明：

法一：连接AC、BD，

根据圆内接四边形外角等于内对角，

可得：∠PAC=∠PDB，∠PCA=∠PBD，

∴△PAC∽△PDB

∴PA:PD=PC:PB

∴PA·PB=PC·PD

法二：连接AD、BC，

根据圆周角定理，

可得：∠B=∠D，

又∠P是公共角，

∴△PAD∽△PCB

∴PA:PC=PD:PB

∴PA·PB=PC·PD

圆幂定理

定义点P到圆O的幂：OP²-r²．

以上“相交弦定理”、“切割线定理”、“割线定理”统称为“圆幂定理”．

（1）相交弦满足：PA·PB=PC·PD=r²-OP²

（2）切线满足：PA²=OP²-r²

（3）割线满足：PA·PB=PC·PD=OP²-r²

【归纳】以上我们考察的量，如PA·PB、PA²等均等于OP²-r²或r²-OP²，故称圆幂定理．