6．如图已知抛物线 y＝ax2+bx+2 经过点 A（﹣4，0）和 B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，将直线 AC 沿 y 轴向下平移，得直线 BD，BD 与抛物线交于另一点 D，连接 CD，CD 与 x 轴交于点 E，试判定 △ADE 和 △ABD 是否相似，并说明理由．
（3）如图2，在（2）的条件下，设点 M 是 △ABD 的外心．点 Q 是线段 AE 上的动点（不与点 A，E 重合）．
① 直接写出 M 点的坐标： ．
② 设直线 MQ 的函数表达式为 y＝kx+b．在射线 MQ 绕点 M 从 MA 旋转到 ME 的过程中，是否存在点 Q，使得 k 为整数．若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】
解：
（1）设抛物线的解析式为 y＝ a（x﹣1）（x+4），将（0，2）代入解析式解得 a＝-1/2，
∴ 抛物线解析式为 y＝-1/2 x2 - 3/2 x + 2 ；
（2）设直线 AC 的解析式为 y＝kx + b，将 A、C 坐标代入可得 k＝1/2，b＝2，
∴ 直线 AC 解析式为 y = 1/2 x + 2，
将直线 AC 平移后得到直线 BD，
∴ 直线 BD 的解析式为 y = 1/2 x - 1/2，
∴ 点 D 坐标为（﹣5，﹣3），
∴ 直线 CD 的解析式为 y＝ x + 2，
∴ 点 E 坐标为（﹣2，0），
∴ AE＝2，AD＝√10，BD＝3√5，DE＝3√2，AB＝5，
∵ AE/AD = AD/AB , ∠DAE = ∠BAD，
∴ △ADE∽△ABD ;
（3）
① 点 M 是 △ABD 的外心，则点 M 在 AB 的垂直平分线上，
设点 M（-3/2，a），
∴ MD＝MB，
∴ MD2＝MB2，
∴ a = -5/2 ,
∴ M 点坐标为（-3/2,-5/2）;
② ∵ A（﹣4，0），M（-3/2 , -5/2）, E（-2 ，0），
∴ 可得直线 AM 的解析式为 y＝﹣x﹣4，直线 EM 的解析式为 y＝﹣5x﹣10，
∴ 可知当直线 MQ 的 k 值为整数时，k 值可以为﹣2，﹣3，﹣4，
当 k＝﹣2 时，直线 MQ 为 y＝﹣2x﹣11/2，点 Q 坐标为（﹣11/4，0）；
当 k＝﹣3 时，直线 MQ 为 y＝﹣3x﹣7，点 Q 坐标为（-7/3，0）；
当 k＝﹣4 时，直线 MQ 为 y＝﹣4x﹣17/2，点 Q 坐标为（-17/8，0）；
∴ Q 点坐标为（﹣11/4，0）或（-7/3，0）或（-17/8，0）.
【分析】
（1）
观察 A、B 两点的纵坐标都是 0 及 C（0,2），通过设出抛物线的两根式把 a 解出来，从而确定出抛物线的解析式，关键是要熟练掌握二次函数的图像和性质；
（2）
证明两个三角形相似，本题用的是 “两边对应成比例且夹角相等” 这一判定条件。
直线平移 K 值不变，关键是求出直线 BD 的解析式，从而联立抛物线求出点 D 的坐标来。
求直线 BD 的解析式 y = kx + b ，k = 1/2， b 是通过线段 OB 两边的直角三角形相似求出来的。
再把直线 CD 的解析式求出来，从而可求出点 E 的坐标，线段 AD 的长度是通过两点之间的距离公式求出来的，至此判定两边对应成比例的线段的长度都已经求出来了，从而可判定相似。
（3）
① 三角形的外心就是三角形外接圆的圆心，这个圆的圆心到三角形的三个顶点的距离都相等。
由图可知 AB 是外接圆的一条弦，由 “垂径定理” 可知点 M 在线段 AB 的垂直平分线上，从而通过坐标中点公式可求出点 M 的横坐标，在通过两点之间的距离公式建立关于点 M 的纵坐标的一个方程来，就可以求出点 M 的坐标；
② 点 Q 是线段 AE 上的动点（不与点 A，E 重合），先求出直线 AM 的解析式为 y＝﹣x﹣4，直线 EM 的解析式为 y＝﹣5x﹣10，可知 -5 < k < -1 , 结合题目条件可知 K 的取值有三种情况，把每种情况的函数解析式求出来，从而可求出点 Q 的坐标。
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