2020年中考数学二次函数压轴题之抛物线中的最值问题

8.如图，抛物线 y＝x2﹣4x + 3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），直线 y = 1/2 x + 1交 y 轴于 C，且过点 D（6，m），左右平移抛物线 y＝x2﹣4x + 3，记平移后的点 A 对应点为 A'，点 B 的对应点为 B'．

（1）求线段 AB，CD 的长；

（2）当抛物线平移到某个位置时，A'D + B'D 最小，试确定此时抛物线的解析式；

（3）平移抛物线是否存在某个位置，使四边形周长最小？若存在，求出此时抛物线的解析式和四边形 A'B'DC 周长最小值；若不存在，请说明理由．

【解析】解：

（1）令 x＝0，则 y＝3，令 y＝0，则 x＝1 或 3，

∵ A（1，0）、B（3，0），

∴ AB＝2，

直线 y = 1/2 x + 1，则点 C（0，1）、D（6，4），

∴ CD＝3√5；

（2）如图 1，作 D 关于 x 轴对称点 E，使得 EG∥x 轴，且 EG＝AB＝A'B'＝2，

图 1

连接 DG 交 x 轴于 B'，连接 A'E，A'D，

∵ A'B'GE 是平行四边形，

∴ A'E＝A'D＝B'G，

∴ 当 D，B'，G 三点共线时，A′D + B′D＝B′D + B′G 最小，

此时 B'（7，0），A'（5，0），

则抛物线的解析式为：

y＝（x﹣5）（x﹣7）＝x2﹣12x + 35；

（3）如图 2，作 D 关于 x 轴对称点 E，使得 EF∥x 轴，且 EF＝AB＝A'B'＝2，

图 2

连接 CF 交 x 轴于 A'，连接 B 'E，B 'D，

∵ A'B'EF 是平行四边形，

∴ B'E＝A'F＝B'D，

∴ 当 C，A'，F 三点共线时，A'C+B'D＝A'C+A'F 最小，

此时四边形 A'B'DC 周长最小，F（4，﹣4），

则直线 CF 的表达式为：y＝﹣5/4 x + 1，

∴ 点 A′、B′ 的坐标分别为（4/5，0）、（14/5，0），

则抛物线解析式为：y＝x2﹣18/5 x + 56/25，

最小周长＝ CF + AB + CD = √41 + 2 + 3√5．

【分析】

（1）结合一次函数与二次函数的解析式先把 A、B、C、D 四点的坐标求出来。

图 3

线段 CD 的长度求法：

① 求出点 C、D 两点的坐标后，用两点之间的距离公式；

② 作辅助线，用勾股定理在直角三角形 CD'D 中，可求出 CD 的长。

（2）线段 A'D + B'D 最小，先分析这三个点的性质：

A'B' = 2，D 是一个定点，A'、B' 是两个动点，一定两动点。

在线段的几何最值问题中（详见最短路径 12 个模型）想到 “化曲线为直线”，作定点 D 的对称点，通过平行四边形转化， A'D + B'D = A'E + B'D = B'G + B'D = DG。

（3）四边形 A'B'DC 周长最小值，先把周长表示出来 CA' + A'B' + DB' + CD ：

由（1）可知 A'B' = AB = 2 , CD = 3√5 ，关键如何求 CA' + DB'，结合（2）中的思路，通过平行四边形转化， CA' + DB' = CA' + EB' = CA' + FA' = CF。