“解析几何”是高中数学的经典内容。回顾近二十年的高中数学课程教材改革，1997年前，“解析几何”单独成册《平面解析几何》，与《代数》（下册）同时开设，在高二两个学期完成，约50课时（包括选学内容“参数方程、极坐标”，约14课时）。1997年后，《全日制普通高级中学数学教学大纲》（以下简称《大纲》）“解析几何”教材包括两章内容：“第七章 直线和圆的方程”“第八章 圆锥曲线方程”，以及“研究性学习课题与实习作业 线性规划的实际应用”，共43课时。
《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）中“解析几何”内容包括必修课程·数学2中的“平面解析几何初步”，选修课程·系列1的选修1-1或系列2的选修2-1中的“圆锥曲线与方程”，以及系列4中的“选修4-5 坐标系与参数方程”。依据《标准》的要求、教材在编写时的思考以及各地教学的实际情况，本文所说的“解析几何”只包括“平面解析几何初步”和“圆锥曲线与方程”（选修2-1），共34课时。
目前《标准》把“内容与要求”合在一起写，虽然表述容易，但有些内容不明确，教还是不教，难以把握，弹性很大。具体到教材的编写，不同版本的教材存在一定的差异。因此本文首先明确“解析几何”的主要内容，在此基础上，再谈具体的教学要求，最后概述“解析几何”教材的主要特点。希望对实验区教师了解教材，进行教学有一定的帮助。
一、解析几何的主要内容
依据《标准》和编写《普通高中课程标准实验教科书·数学》A版时的思考和实践，我们认为“解析几何”的主要内容是：
1．直线与方程
直线的倾斜角和斜率。过两点的直线斜率公式。
两条直线平行与垂直的条件。
直线的点斜式方程。直线的斜截式方程。直线的两点式方程。直线的一般式方程。
直线的斜截式方程与一次函数。
两条直线的交点坐标。
两点间的距离公式。点到直线的距离公式。
两条平行直线间的距离。
2．圆与方程
圆的标准方程。圆的一般方程。
直线与圆的位置关系。圆与圆的位置关系。
直线与圆的方程的简单应用。
3．圆锥曲线与方程
椭圆及其标准方程。椭圆的简单几何性质。
双曲线及其标准方程。双曲线的简单几何性质。
抛物线及其标准方程。抛物线的简单几何性质。
直线与圆锥曲线的位置关系。
曲线与方程、方程与曲线。求曲线的方程。
圆锥曲线的简单应用。
需要说明的是，《标准》把二元一次不等式表示平面区域、简单的线性规划及其应用等内容放在《普通高中课程标准实验教科书·数学5》A版“第二章 不等式”的内容中，强调不等式是刻画现实世界不等关系的数学模型、解决优化问题的重要工具之一，突出不等式的应用价值。而这些内容在《大纲》教材第二册（上）的“第七章 直线和圆的方程”中，是直线方程内容的一部分，在直线方程的基础上，引出二元一次不等式、平面区域和线性规划等内容。
另外，高中数学课标教材“解析几何”不包括两条直线所成的角、圆的参数方程、椭圆的参数方程等内容。
二、解析几何的教学要求
主要内容明确后，下面就是教学要求。教学要求把握的是否恰当，直接影响课堂教学质量和效益。
现在一个普遍的现象是，教学要求偏高，很多学校和教师搞一步到“位”。教学和学习脱离正常的轨道，忽视知识螺旋上升的安排，违背学生循序渐进的学习规律，结果学生课业负担过重，教师“课业”负担也很重。
解析几何的教学要求是：
1．直线与方程
①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。
②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。
⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。
⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
2．圆与方程
①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。
②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
3．圆锥曲线与方程
（1）圆锥曲线
①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。
③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。
④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。
⑤通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。
（2） 曲线与方程
结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想。
对于《标准》“说明与建议”部分提到的一些内容，在教材编写过程中，教材做了一定的弹性处理，一定要把握好它们的教学要求。
教学中，老师经常说的圆锥曲线的“第二定义”、圆锥曲线的离心率与统一方程，尽管是非常经典的内容，但不作为基本的教学要求。考虑到它们的意义，椭圆、双曲线的“第二定义”在教材相关部分的例题有所体现，但没有明确给出它们的“第二定义”。在拓展性栏目“信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆”和“信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：双曲线”虽然给出了上述两种圆锥曲线的“第二定义”，但是作为选学内容。
圆锥曲线都是平面上一个动点到一个定点和它到定直线的距离的比是常数的点的轨迹。试想，在平面上给出一个定点和一条定直线（定点不在定直线上），一个动点到这个定点和它到这条定直线的距离的比无非是三种情况：等于1、大于1、小于1，因此它们有统一的定义、统一的方程。这是一个非常美妙的结论。这个比我们称之为圆锥曲线的离心率，这个定义称之为圆锥曲线的统一定义。按照圆锥曲线的统一定义，我们可以建立它们的统一方程。在教材中我们安排了一个拓展性栏目“探究与发现 圆锥曲线的离心率与统一方程”，供学有余力的学生学习参考。但是这些不作为基本要求，属于选学内容，一定要认真把握。
另外，我们讨论的圆锥曲线的方程都是标准方程，并利用它们的标准方程研究它们的性质。非标准形式的圆锥曲线方程不是目前研究的内容，不要给学生补充这方面的内容。
三、解析几何的主要特点
经典的解析几何内容如何在传统的基础上编出新意，是我们在编写过程中考虑最多的一个问题。这部分内容除全面贯彻本套教材提出的“思想性”“问题性”“联系性”等特点外，还希望通过教材呈现方式的改进，推动教师教学方式和学生学习方式的改进，努力编出新意。
下面概括的七个主要特点，是我们尝试编出新意的几个方面。
1. 明确解析几何的基本思想方法：解析法（坐标法）；突出用方程研究曲线，用代数方法研究曲线的几何性质；强调解析几何解决问题的程序性和普适性；自始至终贯穿曲线与方程、方程与曲线的关系
解析几何的基本思想方法是解析法（坐标法）；突出用方程研究曲线，用代数方法研究曲线的几何性质。在《普通高中课程标准实验教科书·数学2》A版中首先建立直线、圆这两种平面上最简单的非封闭图形与封闭图形的方程，然后通过它们的方程，研究它们的几何性质，主要是直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系。
圆锥曲线的发现与研究始于古希腊，当时人们从纯粹几何学的观点研究了这种与圆密切相关的曲线，知道了它们的一些主要几何性质，包括圆锥曲线的切线、圆锥曲线的光学性质、离心率等等。它们的性质是圆的几何性质的自然推广。但是这种研究，技巧性很强，不是普适的方法。17世纪初期，笛卡儿发明了坐标系，人们开始在坐标系的基础上，用代数方法研究圆锥曲线，也就是我们常说的解析几何的基本思想方法：解析法（坐标法）。这种思想方法的基本特点是程序性和普适性。说其程序性，是指解析几何解决几何问题的“三步曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论。
说其普适性，是指一旦确定直线、圆及圆锥曲线的方程，那么它们的主要几何性质，如位置关系、距离、夹角等，原则上可由这些曲线的方程通过代数运算唯一确定和解答。而综合法处理这些几何性质时，有时需要很强的技巧，“就事论事”。
在直线与方程、圆与方程的内容中，我们渗透了曲线与方程、方程与曲线的关系，学生对“曲线与方程”“方程与曲线”有了一定程度的认识。在这个基础上，《普通高中课程标准实验教科书·数学 选修2-1》A版中明确提出“曲线与方程”“方程与曲线”的关系。随着椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线的学习，通过它们的方程研究它们的简单几何性质，学生可以不断体会“曲线与方程”“方程与曲线”的关系。这种关系贯穿解析几何的始终，学生对它的体会，是一个长期反复的过程。在《普通高中课程标准实验教科书·数学 选修1-1》A版中虽然没有明确提出“曲线与方程”“方程与曲线”的关系，但在给出每种圆锥曲线的标准方程之前，都渗透了“曲线与方程”“方程与曲线”的思想。
从大的范围看，“曲线与方程”“方程与曲线”的关系反映了空间形式与数量关系之间的关系，它用数及其运算为工具，在平面直角坐标系下，用代数方法研究几何问题，是数形结合的重要方面。
2．抓住轨迹问题的本质：变化过程中的不变量，建立轨迹的方程
轨迹是由动点运动形成的曲线（或几何图形），其特点是，动点在运动变化过程中，始终有保持不变的量，由此我们建立轨迹的方程。通过轨迹的方程，判断轨迹的形状，研究轨迹的几何性质。
圆、椭圆、双曲线、抛物线都是动点运动形成的轨迹。动点在运动变化过程中，保持某种“距离”不变，其中圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹，椭圆是到两个定点的距离的和等于定长的点的集合，双曲线是到两个定点的距离的差的绝对值等于定长的点的集合，抛物线是到定点的距离等于到定直线的距离的点的集合。
直线是平面上最简单的图形之一，两点确定一条直线。尽管我们已经知道，一次函数
的图象是一条直线，但从解析几何的角度看，其方程的建立还需要一个过程，我个人的感觉，比圆、圆锥曲线的方程建立稍显复杂。从函数的角度出发，我们是由一次函数的解析式
画出它的图象：直线，但它研究的是数量关系，图象是它的直观载体。现在，我们已知直线建立其方程，就要寻求动点在变化过程中的不变量，这个不变量不是距离，而是角度。为此，在引入直线的方程前，我们先介绍直线的倾斜角和斜率，倾斜角是表示直线倾斜程度的量，斜率进一步把直线的倾斜程度量化。这样，我们首先建立直线的点斜式方程，在此基础上，再建立直线的两点式、一般式方程。
3．介绍直线、圆以及三种圆锥曲线时，进一步改进教材的呈现方式。注意引入的过程，并对过程进行分析。在过程的分析中引导学生自主探索，从分析每种曲线的典型几何特征入手，选择适当的平面直角坐标系，建立每种曲线的方程
在直线和圆的方程的建立过程中，我们都是由确定直线和圆的几何要素出发，点和直线的倾斜角唯一确定一条直线，定点和定长唯一确定一个圆，把这些几何要素代数化，最后用方程的形式表示出来。
三种圆锥曲线的几何特征更明显。在椭圆的学习过程中，我们从圆出发，给出“探究”栏目，通过把细绳的两端分开，让学生观察轨迹的形状，建立与已有知识的联系与区别。由画图的过程，探究形成轨迹的动点满足的几何条件，展现曲线的典型几何特征。在此基础上，给出具有这种典型几何特征的轨迹的正式名称：椭圆。通过观察椭圆的形状，引导学生建立适当的直角坐标系，用点的坐标表示距离，建立椭圆的标准方程。
这种写法，意在突出知识的发生、发展过程，引导学生自主学习探索，既动手又动脑，获得体验。在感性认识的基础上，把具体直观的图形“椭圆”抽象形式化（代数化）为“方程”，形成理性认识。其他两种圆锥曲线：双曲线与抛物线，虽然它们的几何特征与椭圆不同，但其引入过程以及标准方程的建立过程，都是与椭圆相类比展开的。
4．在三种圆锥曲线的简单几何性质的研究中，从直观入手，用代数方法研究它们的几何性质，注意代数方法与几何直观相结合
直线和圆的几何性质比较简单，主要是用它们的方程研究直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系。而对圆锥曲线的简单几何性质给予了更多的关注。圆锥曲线的简单几何性质主要包括：圆锥曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等。
无论是从几何直观的角度看，还是用代数方法研究，圆锥曲线的范围、对称性、顶点的研究都比较容易。圆锥曲线的离心率，双曲线的渐近线相对复杂。抛物线比较特殊，它是离心率为1的圆锥曲线，是直接用离心率定义的一种圆锥曲线。
对椭圆、双曲线离心率的研究，方法有所不同。对椭圆离心率的研究是，首先从直观入手，让学生观察两组扁平程度不一的椭圆，提出问题“用什么量刻画椭圆的扁平程度呢？”再让学生思考，然后给出椭圆离心率的定义。这种方式，首先使学生对离心率有一个直观的印象，然后对离心率的概念有更加深入的认识。这种处理方式可以从不同的角度，用不同的量刻画椭圆的扁平程度。类比椭圆离心率的概念，对双曲线离心率的研究，我们首先直接给出双曲线离心率的概念，然后提出问题“椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？”，让学生思考。结合几何直观，以及，两个量，可以发现，双曲线的离心率可以用来刻画双曲线“张口”的大小。
在教学中，对双曲线渐近线的研究，是重点，也是难点。从直观上看，双曲线的两支是向外无限延伸的，始终在渐近线形成的一组对顶角中，不会越过它的渐近线。教材通过“信息技术应用”栏目，让学生通过观察，发现双曲线的这一性质。在正文中没有给出严格的证明。在拓展性栏目“探究与发现 为什么是双曲线的渐近线”给出了严格的证明，但不必作为教学要求。渐近线的概念比较抽象，学生对它的理解需要一个过程。
5．加强不同知识内容的联系性，从不同角度看待同一数学内容，感受数学的整体性
（1）曲线与方程和函数与图象之间的关系
曲线与方程、函数与图象是两类不同的研究对象，它们之间有一定的联系，也存在一定的区别。
直线的斜截式方程虽然与一次函数的形式是一致的，都体现了数形结合，但是它们反映的是直线的不同侧面。一次函数的图象是直线，函数研究的是两个数集之间的对应关系，它的出发点是数集和对应法则；直线的方程是二元一次方程，可以表示为一次函数的形式，它的出发点是直线这个图象，我们寻求它的代数表示：方程。从外延来讲，方程的概念很宽泛，函数的解析式都可以表示为方程的形式；从内涵来说，函数的内涵非常丰富，方程不一定是函数。
在《普通高中课程标准实验教科书·数学 选修2-1》A版中的“圆锥曲线与方程”一章安排了选学内容“探究与发现 为什么二次函数的图象是抛物线”。对抛物线来说，作为一类几何对象，它具有典型的几何特征；同时也是二次函数的直观载体。尽管是不同的研究对象，但是这个“探究与发现”揭示了两类不同研究对象之间的关系。抛物线是曲线（或图象），我们既可以从函数（或分段函数）的角度研究它，也可以从方程的角度研究它。但是两者之间是有区别的，函数是非空数集之间的一种对应关系，体现的是一种数量关系，图象是函数的一种表现形式；而方程是从曲线的几何特征出发，建立的曲线几何特征的代数关系表达式，用方程研究曲线，是解析几何的思想。
最后，对于
型的二次函数（或抛物线）来说，我们可以运用导数这个工具，通过建立
型的二次函数的切线方程，严格证明它的光学性质：“从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴，反之亦然。”
（2）线性回归与直线的方程
当统计中两个有关联变量的数据以散点图的形式呈现在平面直角坐标系中时，这些散点之间具有一定的相关关系。如果这些散点近似在一条直线附近，我们说这些散点具有线性相关关系。尽管这种相关关系是不确定的，但它们可以用确定的直线方程进行回归。这时我们建立了变量之间的相关关系与确定的直线方程之间的联系。进一步说，建立了统计与解析几何之间的联系，这种联系能够使学生体会到直线方程的具体应用。
（3）线性规划与直线的方程
线性规划的内容过去常常安排在直线的方程中，作为直线方程内容的延伸和拓展。现在《标准》把用二元一次不等式表示平面区域、简单的线性规划等内容放在《普通高中课程标准实验教科书·数学5》A版“第二章不等式”中，强调二元一次不等式是刻画现实世界不等关系的数学模型，是处理优化问题的重要工具之一。
我们知道，二元一次不等式是点的集合。我们由二元一次不等式的形式自然联想到二元一次方程，二元一次方程也是点的集合，而且这些点在一条直线上。因此，二元一次不等式表示的点自然在这条直线之外。实际上，二元一次不等式表示的是平面上的区域。在确定二元一次不等式表示平面区域时，我们应首先建立与二元一次不等式对应的二元一次方程表示的直线。这样，线性规划表示的不等关系与直线方程表示的相等关系紧密地联系在一起。
6．实例丰富，注重实际背景和应用
本套教材一个鲜明的特点是“讲背景、讲思想、讲应用”，解析几何也不例外也不例外。特别是圆锥曲线进一步加强了现实生活的联系。
实际上，圆锥曲线很早就与人类生活、生产以及科研有着紧密的联系。在章引言中，说明三种圆锥曲线都是用不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥面得到的。改变截面与圆锥轴线的夹角，可以得到椭圆、双曲线、抛物线。这种引入，目的是使学生了解“圆锥曲线”名称的由来。另外在教材的正文中，还多次提到行星运行轨道、发电厂冷却塔的外形、抛物运动轨迹、探照灯的镜面等等。
在教材的拓展性栏目中，我们还安排了“探究与发现 为什么截口曲线是椭圆”“阅读与思考 圆锥曲线的光学性质及其应用”（这些内容非常有趣，运用导数可以给出严格的证明）等。安排大量的实例，注重实际背景和应用的目的是让学生感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的重要作用。
7．重视信息技术工具的作用
信息技术工具在解析几何的学习中有较大的支持作用，发挥的空间也较广阔。在教材中，我们安排了很多“信息技术应用”的内容。
（1）利用信息技术工具向学生演示平面截圆锥的过程，通过改变截面与圆锥轴线的夹角，得出不同的圆锥曲线。信息技术工具的使用可以加深学生对圆锥曲线的直观认识。
（2）运用信息技术工具的“运动变化过程中保持几何关系不变”的特点，非常容易探索动点轨迹的形状。一方面，信息技术工具为我们创造了一个实验、发现、猜想的环境，在动态演示中，观察轨迹形成的原因、轨迹的形状，发现结论、形成猜想；另一方面，当我们求出轨迹的方程后，可以用信息技术工具帮助我们进行直观验证轨迹的形状，加深对方程所表示的曲线形状的理解。
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