转化面积、构建相似、运用函数求最值

同高的两个三角形：面积比转化为底的比，构建相似三角形转化线段比，分别表示出两条线段，运用函数求最值。

例：平面直角坐标系XOY中，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A(−1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C(0，−2)

(1).求抛物线解析式

(2).如图点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE面积为S₁，△ABE面积为S₂，求S₁/S₂最大值。

分析：(1).易求：y=1/2.x²−3/2.x−2(略)

(2).因为△BDE和△ABE同高，所以面积比等于底的比，即：S₁/S₂=DE/AE

此时需要转化DE/AE，过点D作DG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，过点A，作AK⊥x轴，交BC于点K

易证：△DEF～△AEK

∴S₁/S₂=DE/AE=DF/AK

即：求DF/AK最大值

易求：BC所在直线解析式:y=1/2x−2

A(−1，0)，求得：K(−1，−5/2)

∴AK=5/2

设：D(a，1/2.a²−3/2.a−2)

则:F(a，1/2a−2)

∴DF=−1/2.a²+2a

∴DF/AK=(−1/2.a²+2a):5/2

=−1/5a²+4/5.a=−1/5(a−2)²+4/5

当：a=2时，DF/AK取得最大值：4/5

即：S₁/S₂最大值=4/5。