浦东新区2012年高三综合练习

数学（文科）试卷

2012.05

 

注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚.

      2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.

 

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1．函数 的单调递减区间为________.

2. 已知 =______.

3. 已知 ， 为虚数单位，且 ，则 =_____.

4.已知 ， ， 则 =_____

5. 已知 ，则 的最大值是_______.

6.方程 的解是_________.

7.数列 的前 项和为 ，若点 （ ）在函数 的反函数的图像上，则 =________.

8.在5张卡片上分别写上数字1，2，3，4，5，然后把它们混合，再任意排成一行，组成5位数，则得到能被5整除的5位数的概率为______。

9. 若复数 （ 为虚数单位）满足 且 ，则 在复平面内所对应的图形的面积为＿＿.

10.若直线 与曲线 没有公共点，则实数 的取值范围是____________.

11.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的表面积为___________

12. 已知函数 是偶函数，则函数图像与 轴交点的纵坐标的最大值是______．

13. 定义一个对应法则 ： .现有点 与 ，点 是线段 上一动点，按定义的对应法则 ： 。当点 在线段 上从点 开始运动到点 结束时，点 的对应点 所经过的路线长度为______.

14. 若规定集合 的子集 为 的第 个子集，其中 ，则 是 的第         个子集.

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15.下列命题正确的是（  ）

A. 三点确定一个平面；   

B. 三条相交直线确定一个平面；

C. 对于直线 、 、 ，若 ，则  ；

D. 对于直线 、 、 ，若 ，则 .

16．“ ”是“直线 和直线 平行”的(   )

A．充分不必要条件           B．必要不充分条件 

C．充要条件                 D．既不充分又不必要条件

17.已知命题 “若 ，则 ”，则命题 及其逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是（    ）

A．1个    B．2个        C．3个      D．4个

18. 把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止.那么在下面四个数中，可能是剪出的纸片数的是（   ）

A.1001    B.1002   C.1003    D.1004

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.

19．（本题满分12分，每一问6分）

如图，弧 是半径为 的半圆， 为直径，点 为弧 的中点，点 和点 为线段 的三等分点，线段  与弧 交于点 ，且 ，平面 外一点 满足 平面 , 。

⑴ 求异面直线 与 所成角的大小；

⑵ 将 （及其内部）绕 所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积。

 

 

 

 

 

 

20.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分.

已知 ，函数 .

(Ⅰ)当 时，求使 成立的 的集合；

(Ⅱ)求函数 在区间 上的最小值.

21．（本大题满分14分）本大题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满8分.

已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，其渐近线方程是 ，双曲线过点  

(1)求双曲线方程

(2)动直线 经过 的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问   是否存在直线 ,使G平分线段MN，证明你的结论  

 

 

 

22. （本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.

已知集合 具有性质 ：对任意 ， 与 至少一个属于 ，

（1）分别判断集合 与 是否具有性质 ，并说明理由；

（2）①求证： ；

②当 时，集合 中元素 是否一定成等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由；

（3）对于集合 中元素 ，若 ，求数列 的前 项和 （用 表示）．

 

 

 

23．（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.

已知函数 ； ，

（1）当 为偶函数时，求 的值。

（2）当 时， 在 上是单调递减函数，求 的取值范围。

（3）当 时，（其中 且 ， ），函数 的图像关于点 对称，又关于直线 成轴对称，试探讨 应该满足的条件。

 

 

 

 

 

 

 

浦东新区2012年高三综合练习卷

数学（文科）答案及评分细则

2012.05

 

注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚.

      2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.

 

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

注：答案只要等价即得分

1．函数 的单调递减区间为________.

【答案】 或 均正确

2. 已知 =______.

【答案】6

3. 已知 ， 为虚数单位，且 ，则 =_____.

【答案】4．

【解析】由 有 ．

4.已知 ， ， 则 =_____

5. 已知 ，则 的最大值是_______.

6.（文）方程 的解是_________.

【答案】

7.数列 的前 项和为 ，若点 （ ）在函数 的反函数的图像上，则 =________.

【答案】

8.在5张卡片上分别写上数字1，2，3，4，5，然后把它们混合，再任意排成一行，组成5位数，则得到能被5整除的5位数的概率为______。

【答案】0.2

9. 若复数 （ 为虚数单位）满足 且 ，则 在复平面内所对应的图形的面积为＿＿.

【答案】4.

10.若直线 与曲线 没有公共点，则实数 的取值范围是____________.

【答案】 或 .

11.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的表面积为___________

【答案】 .

12. 已知函数 是偶函数，则函数图像与 轴交点的纵坐标的最大值是______．

【答案】4

13. 定义一个对应法则 ： .现有点 与 ，点 是线段 上一动点，按定义的对应法则 ： 。当点 在线段 上从点 开始运动到点 结束时，点 的对应点 所经过的路线长度为______.

【答案】 ．

14. 若规定集合 的子集 为 的第 个子集，其中 ，则 是 的第      个子集．

【答案】5

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15.下列命题正确的是（  ）

A. 三点确定一个平面；   

B. 三条相交直线确定一个平面；

C. 对于直线 、 、 ，若 ，则  ；

D. 对于直线 、 、 ，若 ，则 .

【答案】D

16．“ ”是“直线 和直线 平行”的(   )

A．充分不必要条件           B．必要不充分条件 

C．充要条件                 D．既不充分又不必要条件

【答案】C

17.已知命题 “若 ，则 ”，则命题 及其逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是（    ）

A．1个    B．2个        C．3个      D．4个

【答案】B．

18. 把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止.那么在下面四个数中，可能是剪出的纸片数的是（   ）

A.1001    B.1002   C.1003    D.1004

【答案】C

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.

注：本答案只给出了一种解法，其他解法相应给分

19．（本题满分12分，每一问6分）

如图，弧 是半径为 的半圆， 为直径，点 为弧 的中点，点 和点 为线段 的三等分点，线段  与弧 交于点 ，且 ，平面 外一点 满足 平面 , 。

⑴ 求异面直线 与 所成角的大小；

⑵ 将 （及其内部）绕 所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积。

解：⑴ 平面 ,

平面 ，

，………………………………………………………………………………4分

异面直线 与 所成角的大小为 。 …………………………………………6分

⑵ 连结 ，在 中，由余弦定理得：

，  ……………………………………………8分

由题设知，所得几何体为圆锥，其底面积为  ，高为 。……10分

该圆锥的体积为 。  ………………………………………12分

 

 

20.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分.

已知 ，函数 .

(Ⅰ)当 时，求使 成立的 的集合；

(Ⅱ)求函数 在区间 上的最小值.

解：（Ⅰ）由题意， . …………………………………………………………1分

当 时， ，解得 ； ……………………………………2分

当 时， ，解得 .……………………………………3分

综上，所求解集为 …………………………………………………………4分

（Ⅱ）①当 时，在区间 上， ，其图像是开口向上的抛物线，对称轴是 ，

∵ ，

∴ ，

∴ ……………………………………………………6分

②  当 时，在区间[1,2]上， ， ……8分

③当 时，在区间[1,2]上， ，其图像是开口向下的抛物线，对称轴是 ，

  当 即 时， …………10分

  当 即 时，

∴综上， …………………………………………12分

21．（本大题满分14分）本大题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满8分.

已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，其渐近线方程是 ，双曲线过点  

(1)求双曲线方程

(2)动直线 经过 的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问   是否存在直线 ,使G平分线段MN，证明你的结论  

【解答】 (1)如图，设双曲线方程为 =1   …………1分

由已知得 ………………………………………3分

解得  …………………………………………………5分

所以所求双曲线方程为 =1   ……………………6分

(2)P、A₁、A₂的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），

∴其重心G的坐标为(2，2）…………………………………………………………8分

假设存在直线 ，使G(2，2)平分线段MN，

设M(x₁,y₁)，N(x₂,y₂)   则有

，∴k_l= ……………………10分

∴l的方程为y= (x－2)+2,12分

由 ,消去y,整理得x²－4x+28=0   

∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线 不存在 …………………………………………14分

 

22. （本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.

已知集合 具有性质 ：对任意 ， 与 至少一个属于 ，

（1）分别判断集合 与 是否具有性质 ，并说明理由；

（2）①求证： ；

②当 时，集合 中元素 是否一定成等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由；

（3）对于集合 中元素 ，若 ，求数列 的前 项和 （用 表示）．

解：（1）对于集合 ：

 ……2分

∴集合 具有 ．

对于集合 ：

，

∴集合 不具性质 …………………………………………………………  4分

（2）① …………………………………… 6分

②当 时，集合 中元素 一定成等差数列．

证明：当 时，

∴ ．

即 ，又 ，∴ ．

故 成等差数列．………………………………………………………… 10分

（3）

．

， ………………………… 12分

，

∴ ．…………………………………18分

 

 

23．（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.

已知函数 ； ，

（1）当 为偶函数时，求 的值。

（2）当 时， 在 上是单调递减函数，求 的取值范围。

（3）当 时，（其中 且 ， ），函数 的图像关于点 对称，又关于直线 成轴对称，试探讨 应该满足的条件。 2分

解：（1）因为函数 为偶函数，所以 ，

， ，

所以 ， 4分

（2） 6分

，其中 ，所以 ， 8分

由题意可知： ， ，

所以 ， 10分

（3）由 的图像关于点 对称，又关于直线 成轴对称， ，

12分

,  ， 所以， ， ①

14分

由 的图像关于点 对称知道 ， ， ， ，又因为 的图像关于直线 成轴对称，所以 ， ，

所以   ②          16分

由①②可知， ， 。 18分