2023年08月专业笔记
揭秘宇宙万物运行规律的数学——《常微分方程》关键公式的推导和例题详解
本文给出了《常微分方程》中常用的重要公式的推导过程和详细的解释。从工科应用的角度出发，重点放在常用方程的求解计算。对于解的存在性定理等理论性太强的定理不做讨论。本文分以下几部分：<0>从实例引入 <1>一阶微分方程 <2>高阶微分方程 <3>微分方程组 <4>精选试题
图1 微分方程知识体系结构
<0>从实例引入
正如标题所言，常微分方程（Ordinary Differential Equation）是一门揭秘宇宙万物运行规律的数学。著名科幻小说《三体》中数学天才魏成如痴如狂的计算推演三体星球的运行规律，用的数学工具就是微分方程。从数学上说，微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在科技、工程、经济管理、生态、环境、人口、交通等各领域中有着广泛的应用。但是任何数学要发挥作用，首先要建立研究对象的数学模型。这里以一个导弹跟踪问题为例来建立微分方程模型。
<1>一阶微分方程
图2 一阶微分方程知识结构
<1.1>线性方程的通解
的通解公式
<1.2>恰当方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 的解
<1.3>伯努利方程的解法
,变量代换设，把它转化成线性方程解决。
<1.4>里卡提方程的解法
已知一个特解，通过变量代换 ，把它转化成伯努利方程解决。
<2>高阶微分方程
<2.1>二阶线性常系数微分方程 （高数教材节选）
<2.1.1>二阶线性常系数齐次微分方程
<2.1.2>二阶线性常系数非齐次微分方程
ay”+by’+cy=f(x)
解释：当α是特征方程的单根，则 是齐次方程的解。因此当把特解代入方程左边时，特解的因子多项式次数最高项会消掉。而方程右边的次数最高项为m次，于是因子多项式次数最高项应该为m+1次. 并且多项式的常数项可省略（因为齐次方程的通解里已包含该项）。于是因子多项式=x乘以m次多项式. 同理，当α是特征方程的重根，则 和是齐次方程的解。前面的因子多项式次数最高项会消掉。于是次数最高项应该为m+1次. 前面多项式提出一个x再乘以后面里的x，于是因子多项式=乘以m次多项式。
解释：当是特征方程的根，则和都是齐次方程的解。因此当把特解代入方程左边时，特解的因子多项式次数最高项会消掉。而方程右边的次数最高项为m次，于是因子多项式次数最高项应该为m+1次. 并且多项式的常数项可省略（因为齐次方程的通解里已包含该项）。于是因子多项式=x乘以m次多项式.
<2.2>线性微分方程的解的结构
1）即非齐次方程通解=齐次方程通解+一个特解。
2）如果当f(x)=f1(x)时,有一个特解 ，
当f(x)=f2(x)时,有一个特解 ，
那么当f(x)=f1(x)+f2(x)时,有一个特解 。
<3>微分方程组
<3.1> （1）的解为 其中Φ(x)是齐次方程组的解矩阵。
<3.2>（1）的解为
<3.3>矩阵指数计算 （和）
定义式，实际计算步骤：1先把A对角化，2 再计算指数函数。
<4>精选试题（真题）
<4.1>
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<4.2>
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<4.3>
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<4.4>
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<4.10> ，
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