平面几何学习中辅助线的“一箭双雕”

对于初学者来讲几何难，已是不争的事实，在训练自己强大的逻辑思考的征程上，多少汗水，多少泪，即便是学会了用基本图形来分析问题，却仍有较多同学还是被挡在了正确答案的大门外，批阅作业时，常常发现有部分同学所画的图形已经很接近正确答案了，却仍旧败下阵来，其中一个原因，就是把辅助线想的太简单了，许多稍复杂的几何问题，辅助线的目的性并不单一，它所承载的功能绝不是我们想像的那样“单一”．

看下面的案例（这是一个我们非常熟悉的八年级的试题）

再看下我们常见的解法：

一．构造双垂直法

大家发现作完双垂线后，这两条垂线并不是只给我们带来一个有利条件，而是同时带来两个条件，如图所示．正是由于这两个条件同时具备，才为后面的全等提供了两个有利条件，否则这两个直角三角形全等条件将不足．

二．对称法

将PD沿OE作对称到PF（这是想法，辅助线写法不用这样，如下图）

认真研究这种解法，就会发现，对称带来的好处决不是一条，也是两条，除了PD=PF外，还顺带捎来了两个角相等，它们为证明等腰三角形一个出图，一个出角，都卖了力．

三．全等三角形法

如果按下图中的作法，在OB上取一点F，使DF=OC，那么这样的辅助线只单纯的提供了边相等条件，加之易证得∠PCO=∠PDF，可此二者不足以说明COP与DFP全等，所以仅管这样的辅助线已经很“接近答案”，但就是因为没有考虑到“一箭要双雕”，所以棋差一招，同样的位置，同样的线，不同的说法带来的效果不同，按后面三种说法就能达到“一箭双雕”的功效，好好思考一下，它们都带来了什么？想通了，再回头看你曾经没有做出的几何题，你会“悟”出什么道理呢？

有话说：作辅助线并不是目标，而是心中看到了相应的图形结构，只不过它不完整罢了，为了把它补完整，才添上这些线，这些添上去的线俗称辅助线，真正的目的是为了将心中所想的那幅图补全，然而在补的过程中，还要达到承上启下的作用，这就是它难的地方了，还望君多思量．