【高考数学】解题能力提升, 每日一题: 第380题

已知两个无穷数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，a1=1，S2=4，对任意的n∈N*，都有3Sn+1=2Sn+Sn+2+an．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若{bn}为等差数列，对任意的n∈N*，都有Sn＞Tn．证明：an＞bn；

（3）若{bn}为等比数列，b1=a1，b2=a2，求满足（an+2Tn）/（bn+2Sn）=ak（k∈N*）的n值．

解：（1）由3Sn+1=2Sn+Sn+2+an，得2（Sn+1﹣Sn）=Sn+2﹣Sn+1+an，

即2an+1=an+2+an，所以an+2﹣an+1=an+1﹣an．

由a1=1，S2=4，可知a2=3．

所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．

故{an}的通项公式为an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，n∈N*．

考点分析：

数列的求和；数列递推式．

题干分析：

（1）运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；

（2）方法一、设数列{bn}的公差为d，求出Sn，Tn．由恒成立思想可得b1＜1，求出an﹣bn，判断符号即可得证；

方法二、运用反证法证明，设{bn}的公差为d，假设存在自然数n0≥2，

使得不等式成立，推理可得d＞2，作差Tn﹣Sn，推出大于0，即可得证；

（3）运用等差数列和等比数列的求和公式，求得Sn，Tn，化简（an+2Tn）/（bn+2Sn），推出小于3，结合等差数列的通项公式和数列的单调性，即可得到所求值．

解题反思：

数列求和不等式是近几年高考的热点问题，也是很多考生感到棘手的问题，而考生对于此类题的处理方法常用的是数学归纳法和一般的不等式放缩等解题方法。

正裂项相消是数列求和常见的解题策略，其本质是把数列的通项变成两项差且具有传递性的形式，累加使之能消去中间项，最终达到求和的目的。