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已知:如图,AB=BC,D、E分别是AB、BC上一点,DM⊥AE交AC于M, BN⊥AE 交AC于N,若BD=BE求证:MN=NC。
这道题,主要考查我们等腰直角三角形的性质,和通过辅助线构造全等三角形的熟练程度,下面我们先看证明过程。
首先我们先做辅助线,如上图
证明:作MF⊥BN于F,CG⊥BN交BN延长线于G,DH⊥BN于H
∵∠AKB=∠BGC=90°,∠BAK=∠CBG=90°-∠ABK,AB=BC
∴△AKB≌△BGC
∴BK=CG
∵∠BKE=∠DHB=90°,∠BDH=∠CBG=90°-∠ABK,BE=BD
∴△BKE≌△DHB
∴BK=DH
∵DM∥BN
∴DH=MF
∴CG=MF
∴△MFN≌△CGN
∴MF=NC
这道题对于全等三角形不太熟悉的同学,做起来有点吃力,因为找一些关系有点难度,如果熟悉的话几分钟就完成了,所以这道题难点就在于构造辅助线完成三角形全等的证明。
如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足是D,AE平分∠BAD,交BC于点E.在△ABC外有一点F,使FA⊥AE,FC⊥BC.(1)求证:BE=CF;(2)在AB上取一点M,使BM=2DE,连接MC,交AD于点N,连接ME.求证:①ME⊥BC;②DE=DN.
这道题难度有点大,图形也稍微复杂一些,我们来分析一下(1)通过角的转换和等腰直角三角形的性质,得到∠BAE=∠CAF和∠B=∠FCA,从而ASA证明△ABF≌△ACF,根据全等三角形对应边相等得到结论.(2)①过E点作EG⊥AB于点G,通过证明EG是BM的垂直平分线就易得出结论.②通过证明Rt△AMC≌Rt△EMC和△ADE≌△CDN来证明结论.下面我们来具体证明:
证明:(1)如图,∵∠BAC=90°,FA⊥AE
∴∠1+∠EAC=90°,∠2+∠EAC=90°.
∴∠1=∠2.
又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°.
∵FC⊥BC∴∠FCA=90°-∠ACB=45°
∴∠B=∠FCA
∴△ABF≌△ACF(ASA)
∴BE=CF.
(2)①如图,过E点作EG⊥AB于点G
∵∠B=45°∴△CBE是等腰直角三角形
∴BG=EG,∠3=45°.
∵BM=2DE∴BM=2BG,即点G是BM的中点
∴EG是BM的垂直平分线
∴∠4=∠3=45°.
∴∠MEB=∠4+∠3=90°∴ME⊥BC.
②∵AD⊥BC∴ME∥AD
∴∠5=∠6.
∵∠1=∠5∴∠1=∠6
∴AM=EM
∵MC=MC∴Rt△AMC≌Rt△EMC(HL)
∴∠7=∠8.
∵∠BAC=90°,AB=AC∴∠ACB=45°,∠BAD=∠CAD=45°
∴∠5=∠7=22.5°,AD=CD.
∵∠ADE=∠CDN=90°∴△ADE≌△CDN(ASA)
∴DE=DN
今天给大家分享的两道题都有一定难度,并且辅助线不容易做,需要多消化消化,同样最后给大家一道练习题,去练习,检验一下自己的掌握情况:
练习:如图,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D、E分别为AB、AC边上的点,AD=AE,AF⊥BE交BC于点F,过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G,交AC于点M.(1)求证:△EGM为等腰三角形;(2)判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论.
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