作有关角平分线的辅助线,常见的有四种方法:
① 如下图,由角的平分线上的一点向角的一边或两边作垂线,可以用角的平分线性质定理解题;(可向两边作垂线)
图1
② 如下图,以角的平分线为轴,将图形翻折,在角的平分线两侧构造全等三角形,使已知与结论发生关系出现新的条件;(也可说为在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形)
图2
③ 如下图,当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段,可延长这条线段与角的另一边相交,构成等腰三角形,利用等腰三角形的“三线合一” 性质证题;(也可说为“角平分线加垂直”可延长构造等腰三角形)
图3
④如下图,过角的一边上的点,作另一边的平行线,构成等腰三角形——“角平分线+平行,必出等腰 ”.(可作平行线,构造等腰三角形)
图4
方法一练习
1. 如图,已知△ABC中,AC=BC,∠ACB=90∘,BD平分∠ABC,求证:AB=BC+CD.
题目图
答案图
解答:
证明:过点D作DE⊥AB于点E,
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=∠DBE,CD=DE,
在△BCD与△BED中,
∠DBC=∠DBA
∠C=∠BED=90∘
BD=BD,
∴△BCD≌△BED(AAS),
∴BC=BE,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠A=45∘,
∴△ADE是等腰直角三角形,
∴DE=AE=CD,
∴AB=BE+AE=BC+CD.
2.已知:∠AOB=90∘,OM是∠AOB的平分线,将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA、OB交于C. D,PC和PD有怎样的数量关系,请说明理由。
题目图
答案图
解答:
答:PC=PD.
证明:过P分别作PE⊥OB于E,PF⊥OA于F,
∴∠CFP=∠DEP=90∘,
∵OM是∠AOB的平分线,
∴PE=PF,
∵∠1+∠FPD=90∘,∠AOB=90∘,
∴∠FPE=90∘,
∴∠2+∠FPD=90∘,
∴∠1=∠2,
在△CFP和△DEP中,
∠CFP=∠DEP
PE=PF
∠1=∠2 ,
∴△CFP≌△DEP(ASA),
∴PC=PD.
3. 如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,过C作CE⊥AB于E,并且AE=0.5(AB+AD),求∠ABC+∠ADC的度数。
题目图
答案图
解答:
过C作CF垂直AD于F,
∵AC平分∠BAD,
∴∠FAC=∠EAC,
∵CE⊥AB,CF⊥AD,
∴∠DFC=∠CEA=90∘,
∴△AFC≌△AEC(AAS),
∴AF=AE,CF=CE,
∵AE=0.5(AB+AD),
∴2AE=AB+AD,
又∵AD=AF−DF,AB=AE+BE,AF=AE,
∴2AE=AE+BE+AE−DF,
∴BE=DF,
∵∠DFC=∠CEB=90∘,CF=CE,
∴△CDF≌△CEB(SAS),
∴∠ABC=∠CDF,
∵∠ADC+∠CDF=180∘,
∴∠ABC+∠ADC=180∘.
4.如图,在正方形ABCD中,已知E为CD的中点,F为BC上的点,∠ FAE=∠DAE,求证:AF=AD+CF
题目图
答案图
答案01
答案02
5. 如图,BC>BA,BD平分∠ABC,且AD=CD,求证:∠A+∠C=180∘.
题目图
答案图
解答:
过D作出DE⊥BA,DF⊥BC,
∵BD平分∠ABC,DE⊥BA,DF⊥BC,
∴DE=DF,∠E=∠DFC=90∘,
∴在Rt△DEA和Rt△DFC中
AD=CD
DE=DF,
∴Rt△DEA≌Rt△DFC(HL),
∴∠C=∠EAD,
∵∠BAD+∠EAD=180∘,
∴∠BAD+∠C=180∘.
练习:如图,AB=2AC,∠1=∠2、DA=DB,求证:DC⊥AC.
题目图
你有几种方法
方法二练习
1. 如图,AB∥CD,BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线,点E在AD上。
求证:BC=AB+CD.
题目图
答案图
解答:
证明:在BC上取点F,使BF=BA,连接EF,
∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线,
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
在△ABE和△FBE中,
AB=FB
∠1=∠2
BE=BE,
∴△ABE≌△FBE(SAS),
∴∠A=∠5.
∵AB∥CD,
∴∠A+∠D=180∘,
∴∠5+∠D=180.
∵∠5+∠6=180∘,
∴∠6=∠D.
在△CDE和△CFE中,
∠6=∠D
∠3=∠4
CE=CE,
∴△CDE≌△CFE(AAS),
∴CF=CD.
∵BC=BF+CF,
∴BC=AB+CD.
2. 如图,在△ABC中,∠ABC=60∘,AD,CE分别平分∠BAC、∠ACB.
(1)求∠AOC的度数;
(2)求证:AC=AE+CD.
题目图
答案01
答案02
答案03
3. 如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,P是AD上的任意一点,且AB>AC,求证:AB−AC>PB−PC.
4. 已知,Rt△ABC中,∠ACB=90°CD⊥AB,垂足为D,AE平分∠CAB交CD于F,过F作FH∥AB,交BC于H,求证CF=BH
题目图
答案
练习:已知CE,AD是△ABC的角平分线,∠B=60°,求证:AC=AE+CD
方法三练习
1. 如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90∘,∠1=∠2,CE⊥BD的延长于E. 求证:BD=2CE.
题目图
答案
2. 如图,△ABC中,AD平分∠BAC,CD⊥AD于D,G为BC的中点,
求证:①DG∥AB;②DG=0.5(AB−AC).
题目图
答案
3. 如图,AD,AE是△ABC的∠BAC的内、外角平分线,过B作AD的垂线交AD的延长线于F,连FC并延长交AE于M,求证:AM=ME.
(本题较难)
题目图
答案
练习:已知:在△ABC中,AB=5,AC=3,D是BC中点,AE是∠BAC的平分线,且CE⊥AE于E,连结DE,求DE.
方法四用的较少,接下来看有角平分线作其他的辅助线的题
1. 在△ABC中,AD平分∠BAC,且AB=AD,过点C作CM⊥AD交AD延长线于M.
(1)若AC=BC,求∠B的度数并探究AB+AC与AM的数量关系,并证明;
(2)若AC≠BC,则(1)中AB+AC与AM的数量关系还会成立吗?请说明理由。
题目图
答案01
答案03
2.如图,∠C=2∠A,AC=2BC,求证△ABC是直角三角形
题目图
提示:作∠C的角平分线交AB于点D,再过D点作DE垂直于AC,垂足为E点
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