第一讲  数学思维的变通性

一、概念

数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：

   （1）善于观察

心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。

任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。

例如，求和

.

这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且

，因此，原式等于

问题很快就解决了。

（2）善于联想

联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。

例如，解方程组

.

这个方程指明两个数的和为

，这两个数的积为

。由此联想到韦达定理，

、

是一元二次方程

的两个根，

所以

或

.可见，联想可使问题变得简单。

（3）善于将问题进行转化

 

数学家G. 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。

例如，已知

,

,

求证

、

、

三数中必有两个互为相反数。

恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论，可以转化为：

思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。

综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。

   二、思维训练实例

（1）    观察能力的训练

虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。

例1  已知

都是实数，求证

    思路分析  从题目的外表形式观察到，要证的

结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而

左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点，

可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。

证明  不妨设

如图1－2－1所示，

则

     在

中，由三角形三边之间的关系知：

    

当且仅当O在AB上时，等号成立。

     因此，

     思维障碍  很多学生看到这个不等式证明题，马上想到采用分析法、综合法等，而此题利用这些方法证明很繁。学生没能从外表形式上观察到它与平面上两点间距离公式相似的原因，是对这个公式不熟，进一步讲是对基础知识的掌握不牢固。因此，平时应多注意数学公式、定理的运用练习。

例2        已知

，试求

的最大值。

解  由 

得

又

当

时，

有最大值，最大值为

思路分析  要求

的最大值，由已知条件很快将

变为一元二次函数

然后求极值点的

值，联系到

，这一条件，既快又准地求出最大值。上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。

思维障碍    大部分学生的作法如下：

由

得

当

时，

取最大值，最大值为

这种解法由于忽略了

这一条件，致使计算结果出现错误。因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，

又要注意次要条件，这样，才能正确地解题，提高思维的变通性。

有些问题的观察要从相应的图像着手。

例3        已知二次函数

满足关系

，试比较

与

的大小。

思路分析  由已知条件

可知，在与

左右等距离的点的函数值相等，说明该函数的图像关于直线

对称，又由

已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致

图像简捷地解出此题。

解  （如图1－2－2）由

，

知

是以直线

为对称轴，开口向上的抛物线

它与

距离越近的点，函数值越小。

思维障碍  有些同学对比较

与

的大小，只想到求出它们的值。而此题函数

的表达式不确定无法代值，所以无法比较。出现这种情况的原因，是没有充分挖掘已知条件的含义，因而思维受到阻碍，做题时要全面看问题，对每一个已知条件都要仔细推敲，找出它的真正含义，这样才能顺利解题。提高思维的变通性。

（2）    联想能力的训练

例4        在

中，若

为钝角，则

的值

(A) 等于1        (B)小于1         (C) 大于1       (D) 不能确定

思路分析  此题是在

中确定三角函数

的值。因此，联想到三角函数正切的两角和公式

可得下面解法。

解 

为钝角，

.在

中

且

故应选择（B）

思维障碍  有的学生可能觉得此题条件太少，难以下手，原因是对三角函数的基本公式掌握得不牢固，不能准确把握公式的特征，因而不能很快联想到运用基本公式。

例5        若

思路分析  此题一般是通过因式分解来证。但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与一元二次方程的判别式相似。于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。

证明  当

时，等式

可看作是关于

的一元二次方程

有等根的条件，在进一步观察这个方程，它的两个相等实根是1 ，根据韦达定理就有：

        

即  

若

，由已知条件易得

即

,显然也有

.

例6        已知

均为正实数,满足关系式

,又

为不小于

的自然数，求证:

思路分析  由条件

联想到勾股定理,

可构成直角三角形的三边，进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。

证明  设

所对的角分别为

、

、

则

是直角，

为锐角，于是

     

且

当

时，有

于是有

即     

从而就有   

思维阻碍  由于这是一个关于自然数

的命题，一些学生都会想到用数学归纳法来证明，难以进行数与形的联想，原因是平时不注意代数与几何之间的联系，单纯学代数，学几何，因而不能将题目条件的数字或式子特征与直观图形联想起来。

（3）    问题转化的训练

我们所遇见的数学题大都是生疏的、复杂的。在解题时，不仅要先观察具体特征，联想有关知识，而且要将其转化成我们比较熟悉的，简单的问题来解。恰当的转化，往往使问题很快得到解决，所以，进行问题转化的训练是很必要的。

  转化成容易解决的明显题目

    例11  已知

求证

、

、

中至少有一个等于1。

思路分析  结论没有用数学式子表示，很难直接证明。首先将结论用数学式子表示，转化成我们熟悉的形式。

、

、

中至少有一个为1，也就是说

中至少有一个为零，这样，问题就容易解决了。

证明

于是 

 

中至少有一个为零，即

、

、

中至少有一个为1。

思维障碍  很多学生只在已知条件上下功夫，左变右变，还是不知如何证明三者中至少有一个为1，其原因是不能把要证的结论“翻译”成数学式子，把陌生问题变为熟悉问题。因此，多练习这种“翻译”，是提高转化能力的一种有效手段。

例12        直线

的方程为

，其中

；椭圆

的中心为

，焦点在

轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的一个顶点为

，问

在什么范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中的每一点到点

的距离等于该点到直线

的距离。

思路分析 从题目的要求及解析几何的知识可知，四个不同的点应在抛物线

                             （1）

是，又从已知条件可得椭圆

的方程为

                     （2）

因此，问题转化为当方程组（1）、（2）有四个不同的实数解时，求

的取值范围。将（2）代入（1）得：

              

                          （3）

确定

的范围，实际上就是求（3）有两个不等正根的充要条件，解不等式组：

                

在

的条件下，得

    本题在解题过程中，不断地把问题化归为标准问题：解方程组和不等式组的问题。

  逆向思维的训练

逆向思维不是按习惯思维方向进行思考，而是从其反方向进行思考的一种思维方式。当问题的正面考虑有阻碍时，应考虑问题的反面，从反面入手，使问题得到解决。

例13  已知函数

，求证

、

、

中至少有一个不小于1.

思路分析  反证法被誉为“数学家最精良的武器之一”，它也是中学数学常用的解题方法。当要证结论中有“至少”等字样，或以否定形式给出时，一般可考虑采用反证法。

证明  （反证法）假设原命题不成立，即

、

、

都小于1。

则

             

①＋③得        

，

与②矛盾，所以假设不成立，即

、

、

中至少有一个不小于1。

     一题多解训练

    由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因而，同一问题可能得到几种不同的解法，这就是“一题多解”。通过一题多解训练，可使学生认真观察、多方联想、恰当转化，提高数学思维的变通性。

例14  已知复数

的模为2，求

的最大值。

解法一（代数法）设

解法二（三角法）设

则

解法三（几何法）

如图1－2－3 所示，可知当

时，

解法四（运用模的性质）

而当

时，

解法五（运用模的性质）

         

又