(2017·苏州)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于 A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC.点D在函数图象上,CD∥x轴,且CD=2,直线l是抛物线的对称轴,E是抛物线的顶点.
(1)求b、c的值;
(2)如图①,连接BE,线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上,求点F的坐标;
(3)如图②,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.试问:抛物线上是否存在点Q,使得△PQN与△APM的面积相等,且线段NQ的长度最小?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,说明理由.
【图文解析】
(1)如下图示,
将B(﹣c,0)代入抛物线的解析式,得0=c2+2c+c,解得c=﹣3或c=0(不合题意,舍去).∴c=﹣3;
(2)如下图示,
不难求得抛物线的顶点E(1,-4),进一步可求直线BC为y=2x﹣6.
由于F’落在直线BE上,将F’(2,m)代入直线BC的解析式得m=2×2-6=-2,所以F(0,-2).
(3)由B(3,0)和C(0,-3)不难求得直线BC为y=x-3.设点P坐标为(n,0),如下图示,有:
进一步得到:PA=n+1,PM=-n+3,PN=-n2+2n+3.
由S△PQN=S△APM得:
下面分两种情况解析:
①点Q在直线PN的左侧时,如下图示,
在Rt△QRN中,由勾股定理知:NQ2=1+(2n﹣3)2,显然当n=3/2时,NQ取最小值1.此时Q(1/2,-15/4);
②点Q在直线PN的右侧时,如下图示.
同理,由于NQ2=1+(2n﹣1)2,当n=1/2时,NQ取最小值1.此时Q点的坐标为Q(3/2,-15/4).
综上可知存在满足题意的点Q,其坐标为(1/2,-15/4)或(3/2,-15/4).
【反思】数形结合、分类讨论思想在本题中的重要作用,理解点的坐标与函数的关系是解题的关键,可以说:点的坐标是函数的“灵魂”.
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