几何画板解析2017年浙江湖州中考倒三（几何背景）

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2017年浙江湖州中考倒三（几何背景）

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（2017·湖州）已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．

（1）如图1，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F．若DF⊥CE，求证：OE=OG；

（2）如图2，H是BC上的点，过点H作EH⊥BC，交线段OB于点E，连结DH交CE于点F，交OC于点G．若OE=OG，

①求证：∠ODG=∠OCE；②当AB=1时，求HC的长．

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图文分析：

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（1）如下图示，可根据ASA证△DOG≌△COE，即可得到OE=OG.

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答案如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，OD=OC，

∴∠4=∠5=90°，∠3+∠2=90°，

∵DF⊥CE，∴∠1+∠3=90°，

∴∠1=∠2（同角的余角相等），

∴△DOG≌△COE（ASA），

∴OE=OG．

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拓展：

①若E，G分别是直线OB，OC上的动点，如下图示：（结论仍成立）

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②若将上述的条件“DF⊥CE”与结论“OE=OG”，结果如何？（试试看）

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（2）①如下图示，可通过SAS证△ODG≌△OCE，即可得到∠ODG=∠OCE．

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答案如下：

∵OG=OE，OD=OC，

　∠DOG=∠COE=90°

∴△ODG≌△OCE，

∴∠ODG=∠OCE．

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②如下图示,由①得∠ODG=∠OCE,又∠CDO＝∠BCG＝45⁰,得到∠6＝∠7.

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进一步得到△CHE∽△DCH，由相似三角形的性质，可得到：EH：HC＝HC：CD，即HC²=EH·CD. 设CH=x，则BH=1﹣x，可得到方程：x²=1﹣x，解得：

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反思：正方形、全等三角形、相似三角形的判定和性质等知识的综合运用，解题关键是灵活运用所学知识解决问题．

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