2017年浙江衢州中考倒二（几何背景）
（2017·衢州）在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．
（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值．
（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．
图文解析：
（1）简析：如下图示：
（2）本题多种解法，仅提供两种解法.
法一：如下图示：
不难证明，A、E、E、F四点均在以EF的中点M为圆心的圆上，所以∠DEF＝∠CAO＝定角，同时tan∠DEF＝tan∠CAO＝6/8＝3/4.
法二：如下图示：
不难证明△DME≌△DNF，得DE：DF＝DN：DM＝3/4.又因DE⊥DF，从而∠DEF为定值，同时tan∠DEF＝3/4.
（3）分两种情况：
当S△DGE：S△DFG＝1：2时，如下图示：
则EG:FG＝1:2，得FG:EF=2:3.
下图示
进一步地，得到：GH：AE＝FG:EF=2:3，从而GH＝2t/3，在△AGH中，AH＝GH/tan∠OAD＝GH/tan∠DEF＝8t/9.所以：
再把G点坐标代入直线AC的解析式可求出t的值为：t=75/41.
当S△DFG:S△DGE＝1:2时，如下图示.则EG:FG＝1:2，得FG:EF=1:3.进一步地，得到：GH：AE＝FG:EF=1:3，从而GH＝t/3，在△AGH中，AH＝GH/tan∠OAD＝GH/tan∠DEF＝4t/9.所以：
再把G点坐标代入直线AC的解析式可求出t的值为：t=75/17.
综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为t=75/41或t=75/17.
（当然本题有相似的判定和性质来解，或者相结合，解法也类似，下面提供思路）
反思：本题是在矩形背景下，融入了坐标与图形性质、三角形中位线定理、三角形函数（相似三角形的判定与性质）、平行线分线段成比例定理、一次函数等知识；综合性强，难度较大．
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