(2017·四川巴中)如图,已知两直线,分别经过点A(1,0),点B
(﹣3,0),且两条直线相交于y轴的正半轴上的点C,当点C的坐标为(0,根号3)时,恰好有l1⊥l2,经过点A、B、C的抛物线的对称轴与l1、l2、x、y轴分别交于点G、E、F,D为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)试说明DG与DE的数量关系?并说明理由;
(3)若直线l2绕点C旋转时,与抛物线的另一个交点为M,当△MCG为等腰三角形时,请直接写出点M的坐标.
(3)当△MCG为等腰三角形时,分三种情况:①GM=GC;②CM=CG;③MC=MG.
①过点C做作对称轴的垂线,交对称轴于点N;
已知CN=1,GN=根号3,根据三角函数可知,∠GCN=60°,故以G、C为顶角的顶点,也就是说分别以G、C为圆心,CG为半径作出来的圆与抛物线的交点是同一个,此时点M的坐标是(-2,根号3).
【反思】本题是二次函数的综合题,其中涉及到利用待定系数法求抛物线、直线的解析式,函数图象上点的坐标特征,等腰三角形的性质,有一定难度.利用数形结合、方程思想与分类讨论是解题的关键.
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