方程

一般解法有四种：

⒈公式法（直接开 平方法）

⒉配方法

3.因式分解法

4.十字相乘法

十字相乘法能把某些二次 三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个 因数a 1,a 2的积a 1·a 2，把常数项c分解成两个因数c 1,c 2的积c 1·c 2，并使a 1c 2+a 2c 1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:在运用这种方法分解 因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。

例1 把2x²-7x+3分解因式。

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分

别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.

分解二次项系数(只取 正因数)：

2=1×2=2×1；

分解常数项：

3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

1 1

╳

2 3

1×3+2×1

=5

1 3

╳

2 1

1×1+2×3

=7

1 -1

╳

2 -3

1×(-3)+2×(-1)

=-5

1 -3

╳

2 -1

1×(-1)+2×(-3)

=-7

经过观察，第四种情况是正确的，这是因为 交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.

解2x²-7x+3=(x-3)(2x-1).

一般地，对于二次三项式ax²+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a 1a 2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c 1c 2，把a 1，a 2，c 1，c 2，排列如下：

a 1 c 1

╳

a 2 c 2

a 1c 2+a 2c 1

按斜线交叉相乘，再相加，得到a 1c 2+a 2c 1，若它正好等于二次三项式ax²+bx+c的一次项系数b，即a 1c 2+a 2c 1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a 1x+c 1与a 2x+c 2之积，即

ax²+bx+c=(a 1x+c 1)(a 2x+c 2).

像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。

例2 把6x²-7x-5分解因式.

分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种

2 1

╳

3 -5

2×(-5)+3×1=-7

是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式。

解6x²-7x-5=(2x+1)(3x-5)

指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.

对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数。例如把x²+2x-15分解 因式，十字相乘法是

1 -3

╳

1 5

1×5+1×(-3)=2

所以x²+2x-15=(x-3)(x+5) .

例3 把5x²+6xy-8y²分解因式。

分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y²看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即

1 2

╳

5 -4

1×(-4)+5×2=6

解5x²+6xy-8y²=(x+2y)(5x-4y).

指出：原式分解为两个关于x，y的一次式。

例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.

分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解。

问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?

答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.

解 (x-y)(2x-2y-3)-2

=(x-y)[2(x-y)-3]-2

=2(x-y)²-3(x-y)-2

=[(x-y)-2][2(x-y)+1]

=(x-y-2)(2x-2y+1).

1 -2

╳

2 1

1×1+2×(-2)=－3

指出：把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法。

例5 x²+2x-15

分析：常数项(-15)<>

(-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。

=(x-3)(x+5)

总结：①x²+（p+q）x+pq 型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

②kx²+mx+n型的式子的因式分解

如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，那么

kx²+mx+n=(ax+b)(cx+d)

a b

╳

c d

1．直接开平方法：

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用 直接开平方法解形如(x-m)²=n(n≥0) 的

方程，其解为

.

例1．解方程（1）(3x+1)²=7 （2）9x²-24x+16=11

分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)²，右边=11>0，所以

此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：(3x+1)²=7×

∴(3x+1)²=5

∴3x+1=±(注意不要丢解)

∴x=

∴原方程的解为x 1=,x 2=

（2）解： 9x²-24x+16=11

∴(3x-4)²=11

∴3x-4=±

∴x=

∴原方程的解为x 1=,x 2=

2．配方法：用配方法解方程ax²+bx+c=0 (a≠0)

先将常数c移到方程右边：ax²+bx=-c

将二次项系数化为1：x²+(b/a)x=-c/a

方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x²+(b/a)x+(b/2a)²=-c/a+(b/2a)²

方程左边成为一个完全平方式右边通过计算得到一个常数：(x+b/2a)²=-c/a+(b/2a)²

最后使用直接开平方法求解

例2．用配方法解方程 3x²-4x-2=0

解：将常数项移到方程右边 3x²-4x=2

将二次项系数化为1：x²-x=

方程两边都加上一次项系数一半的平方：x²-x+( )²= +( )²

配方：(x-)²=

直接开平方得：x-=±

∴x=

∴原方程的解为x 1=,x 2= .

3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b²-4ac的值，当b²-4ac<0时，无解；方程当b²-4ac≥0时，把各项系数a, b,="">

就可得到方程的根。

例3．用公式法 解方程2x²-8x=-5

解：将方程化为一般形式：2x²-8x+5=0

∴a=2, b=-8, c=5

b²-4ac=(-8)²-4×2×5=64-40=24>0

∴x= = =

∴原方程的解为x 1=,x 2= .

4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让

两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解 一元二次方程的方法叫做 因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：

(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x²+3x=0

(3) 6x²+5x-50=0 (选学） (4)x²-2( + )x+4=0 （选学）

(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得

x²-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)

(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)

∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)

∴x 1=5,x 2=-2是原方程的解。

(2)解：2x²+3x=0

x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)

∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)

∴x 1=0，x 2=-是原方程的解。

注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。

(3)解：6x²+5x-50=0

(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)

∴2x-5=0或3x+10=0

∴x1=, x2=- 是原方程的解。

(4)解：x²-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）

(x-2)(x-2)=0

∴x 1=2 ,x 2=2是原方程的解。

二元二次方程：含有两个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程。