一题多解之“九九归一” （2013内江）在半圆中，AB为直径，AD平分∠CAB，AC=3，AB=5，求AD的长.
分析：此题已知条件简单，但是却非常经典，一题多解，精彩无比。
点评：由AD是角平分线，得D是弧BC的中点，联想到垂径定理，连OD，得BC的垂直平分线，再利用中位线、半径等线段之间的数量关系，将问题转至Rt△FBD中，求出BD的长，再回到Rt△ABD中，求出AD的长。方法一构造辅助线的初衷，来自角平分线在圆中可以得弧的中点，这是题眼。
点评：方法二和方法四构造辅助线，都是由角平分线上一点作角两边的垂线，这是角平分线性质的应用。方法三和方法五构造的辅助线，是角平分线对称性的基本图形。方法三，由垂直于角平分线的线段入手，延长BD与角的另一边相交于点E，得等腰△EAB；方法五，是在角的一边AB上截长补短，使AE=AC，构造三角形的全等。从方法二到方法五，都是利用角平分的基本性质构造辅助线，是对角平分的三个基本图的应用。
点评：方法六的辅助线做法来自对角互补图。一条角平分线、一组邻边相等、对角互补（圆内接四边形性质），这三个信息正好是对角互补图的内容，构造旋转全等可破解对角互补图！
点评：方法四、方法六和方法七都属于三角函数“半倍角”构造法的应用。方法四由角平分线作角两边的垂线，根据全等得出线段之间的数量关系，将问题集中到Rt△EFB中，利用勾股定理列方程求解，从而得到半角∠DAB的三角函数值，从而求出AD的长；方法六利用等腰三角形转化倍角和半角之间的三角函数值，从倍角∠CAB处，在CA的延长线上截AE=AB，得等腰△BAE，在Rt△BCE中，得出半角∠CEB的三角函数值，再回到Rt△DAB中，求出AD的值；方法七，利用旋转全等，得到等腰三角形，从而得出半角的三角函数值。方法六和方法七中，构造等腰三角形，是三角函数“半倍角”构造法的常用手段。
点评：方法九的辅助线构造法很巧妙，由等腰三角和角平分线两个条件，联想到了OD∥AC，这是在学习等腰三角形时积累的课外知识。平行线的发现，是此题的题眼，从而利用垂径定理构造矩形，利用等线段的替换，将问题集中到Rt△FAD中，求出AD的长。
总 评
（1）介绍下此题的背景。此题原型出自北师版教材，2013年四川省内江市中考数学试卷上出现此题，由于反响极好，14年武汉市将此题引入当年中考，16年湖南省常德市中考也将此题的改编版。此题解法非常多，可以从多角度解读，也可灵活的考察学生对几何性质的掌握及运用，是一道好题，绝对值得研究。
（2）一题多解并非炫技，而是通过一题多解，探究几何学习的本质：万变不离其宗，根据已知条件，利用几何性质、基本图形，构造辅助线，将问题转化解决。此题解法绝不止9种，笔者之所以选择9种典型代表方法，取名“九九归一”，表达无论题目如何变化，根据课本基础知识、重要基本图形，构造辅助线的几何本质始终不变之意。
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