考点:二次函数综合题
专题:代数几何综合题,压轴题
分析:(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)用含m的代数式分别表示出PE、EF,然后列方程求解;
(3)解题关键是识别出当四边形PECE′是菱形,然后根据PE=CE的条件,列出方程求解;当四边形PECE′是菱形不存在时,P点y轴上,即可得到点P坐标.
解答:解:(1)将点A、B坐标代入抛物线解析式,得:
,解得
,
∴抛物线的解析式为:y=-x
2+4x+5.
(2)∵点P的横坐标为m,
∴P(m,-m
2+4m+5),E(m,-
m+3),F(m,0).
∴PE=|y
P-y
E|=|(-m
2+4m+5)-(-
m+3)|=|-m
2+
m+2|,
EF=|y
E-y
F|=|(-
m+3)-0|=|-
m+3|.
由题意,PE=5EF,即:|-m
2+
m+2|=5|-
m+3|=|-
m+15|
①若-m
2+
m+2=-
m+15,整理得:2m
2-17m+26=0,
解得:m=2或m=
;
②若-m
2+
m+2=-(-
m+15),整理得:m
2-m-17=0,
解得:m=
或m=
.
由题意,m的取值范围为:0<m<5,故m=
、m=
这两个解均舍去.
∴m=2或m=
.
(3)假设存在.
作出示意图如下:
∵点E、E′关于直线PC对称,
∴∠1=∠2,CE=CE′,PE=PE′.
∵PE平行于y轴,∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,∴PE=CE,
∴PE=CE=PE′=CE′,即四边形PECE′是菱形.
当四边形PECE′是菱形存在时,
由直线CD解析式y=-
x+3,可得OD=4,OC=3,由勾股定理得CD=5.
过点E作EM∥x轴,交y轴于点M,易得△CEM∽△CDO,
∴
=
,即
=
,解得CE=
|m|,
∴PE=CE=
|m|,又由(2)可知:PE=|-m
2+
m+2|
∴|-m
2+
m+2|=
|m|.
①若-m
2+
m+2=
m,整理得:2m
2-7m-4=0,解得m=4或m=-
;
②若-m
2+
m+2=-
m,整理得:m
2-6m-2=0,解得m
1=3+
,m
2=3-
.
由题意,m的取值范围为:-1<m<5,故m=3+
这个解舍去.
当四边形PECE′是菱形这一条件不存在时,
此时P点横坐标为0,E,C,E'三点重合与y轴上,菱形不存在,即P点为(0,5).
综上所述,存在满足条件的点P,可求得点P坐标为(-
,
),(4,5),(3-
,2
-3),(0,5).
点评:本题是二次函数压轴题,综合考查了二次函数与一次函数的图象与性质、点的坐标、待定系数法、菱形、相似三角形等多个知识点,重点考查了分类讨论思想与方程思想的灵活运用.需要注意的是,为了避免漏解,表示线段长度的代数式均含有绝对值,解方程时需要分类讨论、分别计算.
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