原打算罄竹难书，但我后来马上发觉本文作者是就美国数学基础教育面向大一大二学生提出的如何学好数学的课程建议。我就有自知之明，直接作罢了。但不免可惜，我还是吐吐“笨”文对人存有误导的地方：
1，相关性并非因果性
本文作者提到的各大牛人本科或者高中都有钻研数学的背景，但这并不能得出钻研数学和事业有成之间的因果定理。事实上如果真的有这样一个因果律，如此务实的中国人必当不用你怂恿早就一窝蜂往数学专业钻了。。
首先，并非所有较早接触或者较深学习数学的人最后都能在其所在专业中获益，每年从中国10大名校数学系毕业的学生成千上万，他们没有成为文中的范例，反而那些并未把数学作为主业，或者聪明的从数学中取出一部分为我所用的人获得了瞩目成就，这本身就有诸多暗示。
其次，这些学有余力的才子佳人们，本来就利用自己的空余时间做了很多提升能量的事，学'数学“只是其中之一，他们或许还学过一点物理，一点化学，看过一点历史小说，提高人文情怀。有的甚至从小就接触WINDOWS 98编程，提高了”空间想象和逻辑思维能力“你说这也能作为力证说明数学之重么？
最后，很多数学并未集大成，譬如文中所说写完吉米多维奇这本苏联留下的题海习题集之类的同学，也能在各个领域取得应得的成就。学语言，不需要背完MERRIAM WEBSTER的辞海，虽然我们都知道这是经典；学数学窃以为也是一样，求精不必求多，求适合不必求难。况且，在各个专业，主要让人受益的更多是专业内部的训练和敏锐的嗅觉。一个人把H?dler 有限群分类证明颠来倒去梦中证明倒背如流的人，可不见得对世界政治，经济或者物理学凝聚态，场论未来的发展有什么见地。
2，学数学不是做数学
学数学和做数学是两码事。做数学的当然都要学过数学；学过数学的可不一定做数学。这两者从此就有了本质区别。一个学数学的人，通过不断练习，反复训练，在数学那么一套严格的公理体系和自洽解释下，拿一个优不算问题（除非是智力存在缺陷，绝大部分人能考上重点大学应该都不是==）。但这就代表你完全理解所学的数学了么？
教学用的数学，只教你数学中已经完全证明过的性质和定理，然后让你在具有挑战性的习题集中颠三倒四的应用。总的来说，就是应用数学。绝大多数情况，他不会让你去证明一个作者都没有证明过的东西。而这些已经被他人证过无数次，网上答案都有几个版本的习题，存在的唯一目的就是训练你的大脑从多个角度不同侧面（创新地）理解接受这一套公理体系及其逻辑含义。但这不是做数学，这只是学数学。
因此不论数学多么光怪陆离，神奇美妙，这和只达到学数学这个层次的人，是无缘的。真正活的数学应该在PAPER中，在那些数学系研究生的手里，在他们和老板的READING COURSE 和 SEMINAR SESSION 中，在他们专注于解决世界前沿问题的大脑里。既然学习只是在解题中应用，其实所有的，起码本科以内的，数学，都是应用数学（非应用的部分还不是给未来的数学家做准备呢）。而且还很老，很老。（当然不是为了求新，之求新不求用是装逼心理）
应用数学的层次我们谈不起“纯数学”。那些从数学中受益，在“笨”文中作为范例的大牛们，有谁不是因为成功的将所学的数学应用在自己所学的领域中去了呢？”基础数学“再美，你说一个做粒子物理的人去学数论，他不是脑子进水了就是傻逼。。
没有目的和功利性的学习数学，不啻于缘木求鱼。
3，学习随边际效应递减
我们已经说明了学习数学，一定要是在自己专业中”学而能用“，才不算犯傻。然而数学系同学所学的数学教程，晦涩艰深，道阻且长，费曼都说，数学教材，不是第一页看不下去，就是第一句话看不下去。你可以对一个人直白简单的讲述为什么光速有限和电磁波产生的问题，可你就是不可能和他说清楚为什么所有大于5的交错群一定都是简单的（实际上你或许得花费1天的时间解释什么是“简单”）。数学有时候为了得到一些我们有用的结论，从集合论和微积分的最基础出发，洋洋洒洒，旷日持久，连篇累牍的给你建立起一套（特别严谨，特别壮观，特别牛逼）的理论和逻辑体系。要消化他可不是一件简单的事，除非我们能分身，否则对于一个非数学专业，特别是本专业较高年级的人来说，从新去学一遍恐怕不是什么明智之举。人的精力是有限的，很多时候，我们只需要一个体会和欣赏一个结论罢了。习得一个基本结论的效用远远大于你对其无止境的继续深究。你知道什么是群以及群的基本假设，比起来你能证明所有有限群可分成18大子类，26个特别子类，或者含有305个元素的群一定“不简单”来的有用。事实上，人们在做矩阵计算的时候，脑子里可不是想的线性映射，秩和张量，切空间等问题。先算出来，再去体会他的意义，这符合一般人由浅入深的认识规律。而一旦你认识到这个数学概念在你所在专业中的“物理”意义之后，数学里面繁杂反复的推导就显得没有那么有意义了。那是数学家做的事，你是么？
问问你自己。再问，你有这么多时间么？数学一开始很有魅力，可一旦深入，一旦你看到涉及到几百页的推理证明，你还要不要继续？这是一个大大的问号。
人的精力是有限的，如果你决定继续看，那么一个最好的建议是，转行去做数学。
所以，数学是要学的，但度一定要掌握好。数学是毒品，可以让人入迷，你可以一辈子去搞数论。也可以“听说”量子力学里用到了群论就去搞代数，场论中用到了微分几何就去搞几何，但我想不但你老板马上就炒了你，你搞到最后也会发现，根本就不是你想的那么回事——”直到你膝盖中了一箭“可能是对这个场景最形象的修辞。
很多时候，对于本专业的人而言，了解一个数学定义，定性的认识数学思想，深入理解数学在本专业中的解释和应用，比起反复演练和计算，证明困难定理，参加为了挑战而设的数学考试，更有价值。数学中大部分推理都是为了数学家们进一步分析更为复杂的问题做准备的，而在我们的专业中应用寥寥。对于时间有限的每一个个人，有选择性的自学比起无选择性的上数学系专业课，对知识的掌握和利用效率来的更高。”群“或”测度“”几何“”微分方程“”矩阵“”线性代数“这种东西在物理中甚至都没有显式提过，但你一旦掌握了这个思想，了解了他在物理中的意义和应用，说不定你对他的认识比起做”纯数学“的人还要深。
纯数学的人对于FFT有什么直观认识么？一种函数展开在函数空间的一组基罢了。搞信号处理的人却更有心得。共轭空间？对于纯数学或许只是一个映射，对于物理学家可能就意味着电磁场和波。变分法？对于纯数学或许就是一个连续函数的极值定理，对于做化学的，这可是SP3 杂化轨道。希尔伯特空间只是代数系统中毫不起眼的具备某些一般性质的空间描述，在你眼里，说不定就是一群带有相位互相叠加的光子和电子：微波炉测光速，数学家会做么？
相信你已有自己的选择和答案。如果不是数学家，做数学，毁三代。。
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