与老师一起听课评课聊天是一件幸福的事。今天听了两节课，分别是一元二次方程的章节起始课，和一节配方法解方程的课，听完之后，总感觉似乎欠缺了什么？归纳起来涉及六个关键字：思想，方法，技能。两节课更多强调的是在方法和技能上的发展，而忽略了数学思想引领教学的作用。于是就得出这样的一个结论：同一个学习方案，不同教师的教学，就会呈现出深浅不一的教学效果。之所以会产生这种情况，问题就在于教师对数学思想的把握至关重要，好的教师对数学思想的理解深刻，则体现出教学能力立意高和思想明确。
从这节起始课先讲吧，这是一个层次比较薄弱的班级学生授课，学生学习进展不大，同样的学案，由我来实施会是这样的学习方案：
首先，给出六个方程，其中包括两个一元一次方程，两个分式方程，两个一元二次方程，让学生辨别这六个方程中，哪一些是学过的方程？并且是哪一类的方程？这是从具体中直观感知方程类型，其中涉及到学生在脑海中的概念理解。接着提出方程模型来源于生活，来源一些实际的应用问题中，是从实际问题中抽象出来的一种数学模型。因此增加一题简单的实际应用：要做一个面积为6平方米的长方形宣传栏，已知长比宽多1米，求长是多少。这里需要关注师生一起审题，首先这里有一个大的故事背景，即做一个长方形宣传栏，在这个故事背景下隐藏的两个小故事：一个是要求这个长方形面积必须为6平方米；另一个要求是长比宽要多1米。那么这两个小故事中存在怎样的两个相等关系？如何用字母来表示呢？可以引进未知数（字母）表示以列出方程。这里做个说明，在听到的课中，常常会是这样：因为问题简单而一带而过，没有带领学生去理解题目的内涵，没有从教师自身的角度去分享理解题目的含义，引领学生开展数学阅读。我们勿因简单而放弃思考，要随时随地抓准机会提升学生的数学阅读能力，特别是层次较低的学生。
其次是归纳和辨析概念。那为什么要借助三个方程案例来开展学习呢？很简单，一元二次方程这个概念是在抽象思想的引领下开展学习的，就是把概念的内涵和外延抽象出来形成概念，在这个思想下，我们采用的是归纳法，而归纳法必须要有3到5个例子作为案例的载体。如果是采用演绎法，这可以类比一元一次方程，快速获得一元二次方程的概念，但对层次薄弱的学生，相信归纳法会更加贴切适合。等概念提出之后，随手写两个方程，让学生辨别是否为一元二次方程，并结合刚才的实际问题【x(x-1)=6】提出判断一元二次方程的前提是：一般把方程化为右边为0的形式，再借助概念辨析。于是，顺其自然的提出一元二次方程的一般形式，然后对方程各项系数进行工具性的介绍。何为工具，就像十字、一字、六角螺丝刀那样，介绍一下不同特点，学生了解即可，不需作为重点知识点来呈现，只要教师讲解，让学生了解即可。这里也包括了方程的解，虽然说解多了，不一样了，但完全可以在解方程中再去理解。但我们发现很多这样的课堂，对方程，函数的概念，辨析得非常透彻，对方程的系数也是如此，然而，这里不是思维的最重要处，而花费了这么多时间，没有在能力的立脚处、思维的核心处进行思辨，就会出现本末倒置。
再次是提出如何解一元二次方程？一是从一般形式入手，在一般与特殊的思想引领下，开展研究解方程方法的学习。一般情况下，我们可以把方程特殊化，令b等于0或者c等于0。当b等于0时，是直接开方法的模型，当c等于0，是因式分解法。由此，在研究方法中，从最特殊的地方开始去研究，进而到一般情况，逐步地在转换化归思想下开展学习，并顺其自然的提出本节课要学习的直接开方法。而在学习的时候，要随时与旧知识进行呼应，因为在实数章节中，就已经涉及到的直接开方法的思想源头，因此，在学习中，要进行新旧知识对比，在异同中去发展形成新认知，最后才是技能的熟练运算。
在数学思想的引领下的教学是非常重要的，在另一节课用配方法学习解二次项系数为1或不为1的一元二次方程，如何通过转换化归为直接开方法的这种方程形式呢？这是转化数学思想的引领，需要在教学中对此进行深度研究。比如说，聚焦两种方程，让学生开放性的淋漓尽致的去探索，研究，分享，让转换化归思想达到突出，而不是在教师的引导下，一步一步的让学生跟着走。这样的课，才会更具有深度。另外，当学生进行经验探索和分享后，教师要对着问题表述自己的想法，以此来激活学生的思考经验，重构认知，从而缩小师生的理解差。也就是说，转换化归思想来源于学生的经验和数学的表达交流，而不是教师的给予，应聚焦在某一个问题上的思考，开展真正的思辨，互动的时机应注意落在思维处，让互动真正的火起来。
值得一提的是，在讲题中也必须要非常突出学生的审题。比如说这一道题：
点A的坐标是确定的，点B的坐标含有参量，但是定圆上的一点，横坐标明确了，点Ｂ是确定的，是圆上的两点，再加上正切值1/2的条件（没有这个条件，就需要分类），这个点就确定了。也就是说，从一个动点到两个点，再到一个定点，这样的直线BC就已经确定了，所以就不存在分类的情形了。直线BC的解析式是唯一的，而证明这条直线与圆相切，出现了方法的多样性。而这些多样性方法在变化的问题背景中是否还适合呢？作为测试讲评专题课，必须引领学生一起来探究学习，必须要把静态的图形动态化。首先是圆不动，直线在动，直线有平行和旋转的变化，直线绕点C旋转，什么时候能够和圆相切相交呢？就出现了定值或者取值范围的情况。进而提出直线的平行移动，又如何探索直线与圆的位置关系呢？然后才是变换背景，把曲线圆换成另外一种曲线，比如说抛物线、双曲线又如何来判断直线与这些曲线的交点情况呢？由此让学生在不同的情境变化的过程图形中去归纳总结，方法的多样性存在的一些特性，如何寻找这一些特性来进行解题，是化繁为简的能力培养，这才是讲评专题课的重要目标所在。
在数学教学中，思想是最重要的，体现在概念中，方法和技能均来源于思想的作用。数学根本上是玩概念的，也是玩思想的，技巧微不足道。（改自李邦河院士语）
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