一.不等关系与不等式、不等式的基本性质
必修5以及选修4-5都对不等式的性质进行了详细的阐述,其中在不等式两侧同时乘以一个数,需要讨论该数的符号,这个道理我们都懂,但是动不动就会忽略;两个同向不等式相加,所得不等式和原不等式同向,我们容易在同向不等式相减上犯错误;两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式和原不等式同向,我们容易把两侧都是正数给忽略掉.
二.一元二次不等式
一元二次不等式紧紧围绕二次函数图象做文章,两个关键因素是开口和判别式.
教材上也顺带提了简单的分式不等式(转化为整式不等式)以及高次不等式(通过描点画大致图象)的解法,不是高考的重点,但是简单的问题得会解决.
课后习题涉及到了二次方程根的分布问题,这是个重点知识,通过二次函数的特征怎么避开无理不等式,是我们必须掌握的,但是不要死记硬背,一定要具体问题通过画图来分析.
三.均值不等式
两个正数的乘积为常数时,它们的和有最小值;两个正数的和为常数时,它们的乘积有最大值.这两个规律的的关键词“正数”、“常数”以及一个隐藏的关键“取到最值的条件”,是解决这类问题的关键.
上述第一个问题和函数y=ax+b/x(a,b>0)有关,第二个问题和二次函数y=(a-x)x有关,第一个函数如果在大题中遇到,当x有限制条件没法直接利用均值不等式的时候,不可以直接画图象,必须求导.
选修4-5中介绍了三次及以上次数的均值不等式,这个在高考中不作要求.
三个均值不等式相加得到一个常用的结论:
a2+b2+c2≥ab+bc+ac
该不等式很重要,当然不可以在大题上直接使用,需要证明,有时候一道题会把a,b,c换成别的复杂的量,不太容易发现.
四.线性规划
你会证明二元一次不等式Ax+By+C>0所表示的点构成的区域在直线Ax+By+C=0的一侧吗?教材在探索与研究中给了证明,用的是法向量的方法,我觉得有点麻烦了,如果Ax+By+C=0有斜率,将其化成y=kx+b的形式,然后研究y>kx+b以及y<>
判断Ax+By+C>0在直线AX+By+C=0的哪一侧,有很多方法,大家都有自己的一套,但是不管哪一套,都要谨慎,千万不要糊涂了以为Ax+By+C>0一定是直线的上方区域.
教材的的思考与讨论探索了一个我们常犯错误的问题,这个我在线性规划学习中易犯的四个错误作了详细的说明.
五.绝对值不等式
针对求|x-a|+|x-b|的最小值,教材了给了构造函数分类讨论法、几何意义法、绝对值的三角不等式法,这些方法都得掌握,对于不同问题可以作不同的选择,当然最重要的方法还是构造函数分类讨论,不管是哪个方法,同其它不等式求最值一样,取等条件必须说清楚.
六.有必要做做的题.
1.已知1<><><><3,求a+b,a-b,a-2b,ab,a>3,求a+b,a-b,a-2b,ab,a>
2.设a是三个正数a,b,c中最大的数,且a/b=c/d,试比较a+d与b+c的大小.
3.已知二次函数f(x)的图象过原点,且-1≤f(-1)≤2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.
4.关于x的方程2x2+7mx+5m2+1=0的两个实根中,一个大于2,一个小于2,求实数m的取值范围.
5.如果关于x的不等式ax2+bx+c<>
6.设函数f(x)=lg[(m2-3m+2)x2+2(m-1)x+5].
(1)如果f(x)定义域为R,求实数m的取值范围;
(2)如果f(x)的值域为R,求实数m的取值范围.
7.(1)求函数f(x)=(x2+2)/√(x2+1)的最小值以及相应的x的值;
(2)求函数f(x)=(x2+3)/√(x2+2)的最小值以及相应的x的值.
8.已知a,b,c为实数,a+b+c=1,求证:a2+b2+c2≥1.
9.已知a,b,c为互不相等的正数,求证:
a4+b4+c4>a2b2+b2c2+a2c2>abc(a+b+c).
联系客服