2018高考数学100弹之第88弹：回归教材之数列

一.数列.

       数列的通项公式是特殊的函数的解析式，数列的单调性有两个判断方法，一个是从函数的角度出发，利用函数的单调性来解决，但是这个容易犯错误，比如函数y=2x²-5x在[1,+∞)上是不单调的，但是由图可得数列a_n=2n²-5n(n∈N*)却是单调的，二者不能简单的等价.另一个方法是利用数列相邻两项a_n和a_n-1作差或者作商进行比较，比如上述数列中，a_n-a_n-1=4n-7>0(n∈N*,n≥2).

       数列递推是选学，表明我们不用去研究复杂的递推问题，但是简单的我们还是要混个眼熟的，后续的习题中也有部分递推问题需要我们重视，但是全国高考卷中的确在淡化递推问题.

二.等差数列.

       等差数列通项公式的求法——叠加法，适用于a_n-a_n-1=f(n)(其中f(n)可以求和）类型的递推.

       教材专门证明了等差数列通项的一般结构是a_n=dn+b.

       例题推导了a_n=a_m+(n-m)d.这个结论要记下来，而且会灵活运用.

       等差数列前n项和的求法——倒序相加法，适用于a_m+a_n-m=c的结构，和中心对称有关. 

       教材只给了等差前n项和的两个形式：

       S_n=n(a₁+a_n)/2=na₁+n(n-1)d/2

       但是在后续的习题以及探索与研究中，通过a_n=S_n-S_n-1(n>1),a₁=S₁，可以求得前n项和形如S_n=an²+bn+c这个结构的，从第二项起是等差数列，公差为a/2，当c=0时，从第一项起就是等差数列.这个和等差前n项和的第三个形式S_n=dn²/2+(a₁-d/2)n正好吻合.

三.等比数列.

       等比数列通项公式的求法——叠乘法，适用于a_n/a_n-1=f(n)(其中f(n)可以求积)类型的递推.

       教材专门证明了等比数列通项的一般结构是a_n=cqⁿ.千万不要以为c是首项.

       例题推导了a_n=a_mq^n-m.这个结论要记下来，而且会灵活运用.

       探索研究中探索了两个等差或等比的和与积是等差还是等比，大家一定要结合等差等比的定义或者通项公式的一般形式去理解这个.

       任意两个实数都有唯一的等差中项，两个正数(或两个负数)存在两个互为相反数的等比中项.

       等比数列前n项和的求法——错位相减法，适用于数列{a_nb_n}的求和，其中{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，这个是高考的高频考点，也是易错考点，大家都会做，但是能不能化简对就不好说了，事到如今，只能为你祈福了，没有别的招了.

       在运用等比前n项和公式的时候，一定要讨论公比是否为1.

       习题中探索了等比数列(公比q不为-1)前n项和S_n的一个关系，S_n，S_2n-S_n,S_3n-S_2n是公比为qⁿ的等比数列.等差数列也有类似结论，S_n，S_2n-S_n,S_3n-S_2n是公差为n²d的等差数列.

四.有必要做做的题.

1.数列{a_n}的通项公式为a_n=(n-√97)/(n-√98)，求其最大项与最小项.(画函数图象是最佳做法）

2.等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₉<>S₁₀>0,则此数列的前n项和中，n是多少时取得最小值.(利用S₉=9a₅,S₁₀=5(a₅+a₆)来解决最方便)

3.已知函数f(x)=4^x/(4^x +2)，设数列a_n=f(n/1001),求此数列的前1000项和.(猜测f(x)是中心对称函数并证明)

4.数列{a_n}中，已知其前n项和S_n=(n+1)/n,求a_n.(别忘了讨论a₁的值）

5.数列{a_n}中，a₁=1/5，a_n+a_n+1=6/5ⁿ⁺¹ (n∈N*)，求此数列的前n项和.(该题有很多方法，可以两边都乘以(-1)ⁿ⁺¹，然后累加求通项；或者两边都乘以5ⁿ⁺¹，然后构造出a_n+1=ca_n+d的结构.)

6. 数列{a_n}中，S_n+1=4a_n+2, a₁=1.

(1)设b_n=a_n+1-2a_n,求数列{b_n}的通项公式；

(2)设c_n=a_n/2ⁿ ,求数列{c_n}的通项公式；

(3)求数列{a_n}的通项公式以及前n项和公式.

(该题是一道高考原题，第一问如果没有给提示，我觉得现在不太可能考，第二问同上面第5题很像）

7. 数列{a_n}中，a₁=1,a_n+1=2a_n/(2+a_n),求a₅.(该题如果求通项，两边取倒数即可)

8.如果等差数列{a_n}的项数为奇数，a₁=1, {a_n}的奇数项的和是175，偶数项的和是150，求这个等差数列的公差.(该题如果将项数改成偶数，会更简单，不管是奇数还是偶数，其中蕴含的结论大家都得掌握)

9. 数列{a_n}前n项和为S_n，a₁=1, a_n+1=(n+2)S_n /n (n∈N*)，证明：

(1)数列{S_n /n }是等比数列；(2) S_n+1=4a_n 

10.如果一个等差数列的前3项和为34，最后3项和为146，且所有项和390,求这个数列的项数.

11. 等差数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n,且S_n/T_n=(3n-1)/(2n+3)，求a₈/b₈的值.(该题有两个办法，在之前的数列推送已经介绍过了)

12. 已知数列{a_n}的前n项和S_n=-n²+10n,数列{b_n}的每一项b_n=|a_n|，求数列{b_n}的前n项和.(这个题非常好，虽然比较老，但是还是应该引起重视）

13. 已知数列{a_n}的前n项和S_n=n(2n-1)a_n,并且a₁=1/3，求此数列的通项公式及前n项和公式.

14.设数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+n(n∈N*)

(1)若{a_n}是等差数列，求{a_n}的通项公式；

(2){a_n}是否可能为等比数列？若可能，求出此数列的的通项公式；若不可能，说明理由.