恒成立问题中含参范围的求解

数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。

一、分离参数——最值化

对于某些恒成立问题，可将其中的参数分离出来，将原问题转化为

（或

）在给定区间上恒成立

（或

），从而将原问题转化为求函数的最大值或最小值问题。

例1  当

时，不等式

恒成立，求实数a的取值范围。

  解析：因

，所以

对

恒成立，即有

，由于

在

上是增函数，所以当

时，

，所以

 

例2  设

且

恒成立，求实数m的取值范围。

  解析：由于

，所以

，于是

恒成立，因

  （当且仅当

时取等号），故

。

 

二、数形结合——直观化

对于某些不容易分离出参数的恒成立问题，可利用函数的图像或相应图形，采用数形结合的思想，直观地反应出参数的变化范围。

例3  当

时，恒有

成立，求实数a的取值范围。

  解析：令

，由题意，

对

恒成立。

  （1）当

，即

时，有

对

恒成立。

  （2）当

时，结合二次函数的图像，

  有

  或

  

  综合（1）（2）得

 

例4  设

，对于任意正整数k，直线

与

恒有两个不同的交点，求实数a的取值范围。

  解析：作出

在区间

上的图像，由图像知，直线

只能绕原点O从x正半轴旋转到过点

的范围，直线AO的斜率为

于是实数a的取值范围是

 

三、巧妙赋值——特殊化

在某些恒成立问题中，恰当地取特殊的数或考虑特殊的情形，探求出参数的值或范围，再加以证明，不失为一个好办法。

例5  是否存在常数c，使得不等式

对任意的正实数x，y恒成立？并证明你的结论。

  解析：令

得

，有

  先证

成立

证

成立

证

成立，此时显然成立。

  再证

成立。

  

证

成立

证

成立，此时也显然成立。

  故存在常数c，使得原不等式对任意的正实数x，y恒成立。

 

例6  设

。若对于任意

恒成立，试确定常数a，b，c。

  解析：取

分别代入已知等式，

  即

  （1）＋（2）得，

             （4）

  由（2）（3）（4）得

  

  由

得

，解得

，从而

  再由

  再

  将求解的a、b、c代入已知等式验证适合，故

 

四、变更主元——简单化

对含多个变量问题，有时变换主元与次元的位置，常能达到避繁就简的目的。

例7  对于

，不等式

恒成立，求实数x的取值范围。

  解析：不等式

不等式

即

对于

恒成立。

  记

，则问题转化为一次函数（或常数函数）在区间［－1，1］内恒为正的x应满足的条件。

  由

得

  

或

  故实数x的取值范围是

  

  恒成立问题中含参范围的求解策略较多，但主要有以上四种常见方法，其实质是一种等价转化的思想。