性质1：原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域
在求原函数的反函数及反函数的定义域、值域的有关问题时，如能充分利用这条性质，将对解题有很大帮助。
例1.函数的反函数是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：这是一个分段函数，对分段函数求反函数要注意分段求解。由函数解析式可知当时，；时。由性质1，可知原函数的反函数在时，，则根式前面要有负号，故可排除A、B两项，再比较C、D，易得答案为C。
例2.若函数为函数的反函数，则的值域为________。
解析：常规方法是先求出的反函数，再求得的值域为。如利用性质1，的值域即的定义域，可得的值域为。
性质2：若是函数的反函数，则有。
从整个函数图象来考虑，是指与其反函数的图象关于直线对称；从图象上的点来说，是指若原函数过点，则其反函数必过点。反函数中的这条性质，别看貌不惊人，在解题中却有着广泛的应用。
例3.函数的反函数的图象与轴交于点P（0，2），如下图所示，则方程在[1，4]上的根是（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1
解析：利用互为反函数的图象关于直线对称，的图象与轴交于点P（0，2），可得原函数的图象与轴交于点（2，0），即，所以的根为，应选C。
例4.设函数的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数，=0，则=_________。
解析：由=0，可知函数的图象过点（4，0），而点（4，0）关于点（1，2）的对称点为（，4）。由题意知点（，4）也在函数的图象上，即有，根据性质2，可得。
性质3：单调函数一定存在反函数，且反函数与原函数的单调性一致。
在定义域上的单调函数一定存在反函数，但在定义域上非单调函数未必没有反函数，或者说有反函数的原函数不一定是单调函数。如函数有反函数，但其在定义域上不是单调函数。
例5.函数=在区间上存在反函数的充要条件是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：因为二次函数不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间或上是单调函数，而已知函数在区间上存在反函数，所以或者，即或，应选C。
例6.已知是定义在R上的单调递增函数，且有，试证明。
证明：（反证法）假设存在，使得。
∵是定义在R上的单调递增函数，
∴由性质3知，也是R上的单调递增函数。
若，则，即，矛盾。同理，当时，也可推出矛盾，故假设不成立，则。
性质4：若是的反函数，则的反函数为，的反函数为。
证明：假设的反函数为，若，则，即，得。
也就是说原函数向左平移a个单位，则反函数向下平移a个单位，其他情况可同理证明。
例7.设，函数的图象与的图象关于直线对称，求的值。
解析：∵函数的图象与的图象关于直线对称。
∴与互为反函数。
根据性质4，的反函数为。
∴，得。
例8.设定义域为R的函数、都有反函数，并且函数和的图象关于直线对称，若，求的值。
解析：由已知条件可知与互为反函数，根据性质4，的反函数为，可得。
∴。
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