2018年临沂市中考数学压轴题

自古套路得人心

【题目】

（2018·临沂）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x²+bx+c经过A、B两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=1/2DE．

①求点P的坐标；

②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】 

解：（1）∵B（1，0），∴OB=1，

∵OC=2OB=2，∴C（﹣2，0），

Rt△ABC中，tan∠ABC=2，

∴AC/BC=2，∴AC/3=2，

∴AC=6，∴A（﹣2，6），

把A（﹣2，6）和B（1，0）

代入y=﹣x²+bx+c得：-4-2b+c=6，-1+b+c=0，

解得：b=-3，c=4，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x²﹣3x+4；

备注：根据线段长及比例关系，求出点坐标，待定系数法求解析式。

（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），

易得AB的解析式为：y=﹣2x+2，

设P（x，﹣x²﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），

∵PE=1/2DE，

∴﹣x²﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=1/2（﹣2x+2），

x=1（舍）或﹣1，

∴P（﹣1，6）；

备注：设未知数，利用线段的等量关系建立方程，得点P的坐标。

②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6），

设M（﹣1，y），

∴AM²=（﹣1+2）²+（y﹣6）²=1+（y﹣6）²，

BM²=（1+1）²+y²=4+y²，

AB²=（1+2）²+6²=45，

分三种情况：

i）当∠AMB=90°时，有AM²+BM²=AB²，

∴1+（y﹣6）²+4+y²=45，

解得：y=3±√11，

∴M（﹣1，3+√11）或（﹣1，3﹣√11）；

ii）当∠ABM=90°时，有AB²+BM²=AM²，

∴45+4+y²=1+（y﹣6）²，

y=﹣1，

∴M（﹣1，﹣1），

iii）当∠BAM=90°时，有AM²+AB²=BM²，

∴1+（y﹣6）²+45=4+y²，

y=13/2，

∴M（﹣1，13/2）；

综上所述，点M的坐标为：∴M（﹣1，3+√11）或（﹣1，3﹣√11）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，13/2）．

备注：两定一动直角三角形的存在性问题，思路有三：

①设未知数，利用勾股建立等量关系，分类讨论求解；

②两圆一线，利用直角构造三垂直得相似，由比例得线段长；

③利用高中两直线互相垂直k1·k2=-1，可以求出直线解析式，求出交点坐标即可。